szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lis 2017, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Witam, proszę o pomoc w sprawdzeniu i rozwiązaniu kilku przykładów całek funkcji zespolonych:

1. \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz gdzie L jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \left| z\right| gdzie rez, imz \ge 0
\int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = ...
z(t)= e^{it} z'(t)=i*e^{it}
\int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz =  \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }  \frac{e^{-it}}{\left| cost+isint\right|^2 }* ie^it =i*\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }1 dz=i \frac{\pi}{2}

2. Tego przykładu nie potrafie zrobić:
\int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} }  dz gdzie L jest odcinkiem od z_{1}=1 doz _{2}=i
z(t)=1+(i-1)t,  z'(t)=i-1
\int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} }  dz = \int_{0}^{1} \frac{i-1}{1+it-t }  dz
Nie wiem co dalej, jak pomnożę mianownik przez sprzężenie to nic mi to chyba nie daje.

3.I ostatni przykład:
[\int_{K}^{} cosz }  dz gdzie K jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \left| z\right| od z_{0}=-i doz _{1}=i
Tutaj z(t)=e^{it} , z'(t)=ie^{it} ale jak podstawie to wyjdzie cosinus z liczby e i nie wiem co miałbym z tym dalej zrobić więc proszę o jakieś wskazówki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lis 2017, o 22:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
Pierwszy przykład rozwiązałeś poprawnie.
2. Ależ daje, tylko masz już błąd:
skoro z(t)=1+(i-1)t, to \overline{z(t)}=1-t{\red -}it
Czyli masz
\int_{0}^{1} \frac{i-1}{1-t-it}\,\dd t= \int_{0}^{1} \frac{(i-1)(1-t+it)}{(1-t-it)(1-t+it)}\,\dd t=\\= \int_{0}^{1} \frac{(i-1)(1-t+it)}{2t^2-2t+1}\,\dd t
no i to i-1 możesz wyłączyć przed całkę, a dalej rozbijasz na sumę całek.
Pomyśl jak, biorąc się za analizę zespoloną, podstawy rachunku całkowego powinieneś mieć opanowane.
Może się przydać to, że dla a\neq 0 i \Delta=b^2-4ac<0 mamy
\int_{}^{}  \frac{\,\dd x}{ax^2+bx+c} =\frac 1 a \int_{}^{}  \frac{\,\dd x}{\left(x+ \frac{b}{2a}  \right)^2+  \frac{4ac-b^2}{4a^2}   }=\\= \frac{4a}{4ac-b^2}  \int_{}^{}  \frac{\,\dd x}{\left(  \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)^2+1 }= \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left(  \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)  +C

Trzeci przykład: skojarz z pochodną funkcji złożonej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lis 2017, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Z drugim się uporałem, dziękuje za pomoc. Jednak z trzecim nadal nie wiem co zrobić.
\int_{K}^{} cos(e^{it})e^{it}dt = ...
e^{it}=a
ie^{it}dt=da

zatem \int_{K}^{} cos(e^{it})e^{it}dt =  \frac{1}{i}\int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{3\pi}{2} }cosada =  \frac{1}{i} [sin(e^{it})]\right]^{ \frac{3\pi}{2} }_ \frac{\pi}{2} =  \frac{1}{i}[sin(e^{i \frac{3\pi}{2}})-sin(e^{i \frac{\pi}{2}} )]
Dobrze to robię?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lis 2017, o 00:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
Chyba nie do końca…
Skierowany dodatnio łuk okręgu \left| z\right|=1 od z_{0}=-i do z _{1}=i możemy sparametryzować tak:
z(t)=e^{it}, \ t\in \left[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right]
(przypominam, że "dodatnio" znaczy "przeciwnie do ruchu wskazówek zegara") i otrzymujemy, że
\int_{K}^{}\cos z \,\dd z= \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}\cos(e^{it})ie^{it}\,\dd t=\sin(e^{it})\bigg|^{t=\frac \pi 2}_{t=-\frac \pi 2}=\ldots
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Jakie są dowody na nieistnienie zer funkcji dzeta?  seiwopurk 1  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl