szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 21 paź 2017, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Wrocław
Zbadać różniczkowalność zespoloną z definicji funkcji
1) f(z) = |z^3 - 1|^3 w dowolnym punkcie z_0
2) f(z) = \Re (z^2) w punkcie z_0 = i.

Pierwszego punktu nie mam pojęcia jak rozpisać, a w drugim doszłam do

\lim_{h \to 0}  \frac{\Re (h^2) + 2 \Re (hi)}{h}

i nie wiem co dalej.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2017, o 19:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
2) \Re\left((i+h)^2\right)-\Re\left(i^2\right)=\\=\Re(h^2)+\Re(i^2)-2\Im h+1=Re(h^2)-2\Im h

Uwaga:
\Re (zw)=\Re z\Re w-\Im z\Im w
No a granica
\lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}
nie istnieje:
rozważ ciągi
h_n= \frac{i+1}{\sqrt{n}},  g_n= \frac{1}{\sqrt{n}}
i przypomnij sobie definicję Heinego granicy funkcji.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 21 paź 2017, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Wrocław
Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?

Czy mogę przy granicy
\lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} rozważyć przypadki
a) h \in \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0}    \frac{h^2 - 0}{h} = 0
b) h \in i \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0}    \frac{0 - 2h}{h} = -2

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2017, o 19:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?

Tak.

Cytuj:
Czy mogę przy granicy
\lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} rozważyć przypadki
a) h \in \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0}    \frac{h^2 - 0}{h} = 0
b) h \in i \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0}  \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0}    \frac{0 - 2h}{h} = -2

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?

Jak najbardziej.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 21 paź 2017, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Wrocław
Super, dziękuję!

A jakieś wskazówki do pierwszego przykładu? Bo mam wrażenie że wzór na trzecią potęgę komplikuje sprawę, ponieważ nie mogę się niczego konkretnego doliczyć.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2017, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 4783
1.

f(z)= [(z^3 - 1)\cdot \overline{z^3 -1})]^{\frac{3}{2}}.

Funkcja f jest zarówno funkcją złożoną z funkcji u = z^3 -1, jak i \overline{u} = \overline{z^3 -1}.

Nie da się zapisać modułu liczby z = x+i y bez udziału \overline{z}= x - iy .

W konsekwencji funkcja f nie może być funkcją holomorficzną, a więc i różniczkowalną.

Proszę sprawdzić dla funkcji f warunki Cauchy-Riemanna, aby przekonać się naocznie, że nie są one spełnione.

W teorii funkcji zmiennej zespolonej jest silne ograniczenie- funkcja holomorficzna nie może zależeć od sprzężenia \overline{z}.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 21 paź 2017, o 20:27 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Wrocław
Tak, tak mieliśmy na ćwiczeniach sprawdzone za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna i mieliśmy warunek, że jest jest analityczna \Leftrightarrow   \frac{ \partial f}{ \partial \overline{z}} = 0, a teraz mamy to policzyć jedynie korzystając z definicji.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadać liczbę pierwiastków  max123321  0
 Zbieżność szeregu, ciągłość funkcji i różniczkowalność  michcior  3
 Zbadać zbieżność szeregu - zadanie 280  insanis  3
 różniczkowalność logarytmu głównego  leszczu450  2
 Zbadac zbieznosc szeregu - zadanie 283  nevonsky  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl