szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 paź 2017, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego:

(t+ \sqrt{ x^{2}-tx }) \cdot x'=x \\
 x(0.5)=1

Z góry dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 paź 2017, o 12:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
x'= \frac{x}{t+ \sqrt{x^2-xt} }\\
x'= \frac{ \frac{x}{t} }{1+ \sqrt{(\frac{x}{t})^2-\frac{x}{t}} }\\
x=ut \Rightarrow x'=u't+u \\
u't+u= \frac{u}{1+ \sqrt{u^2-u} }
A to jest równaniem typu zmienne rozdzielone.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 paź 2017, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
A mogę prosić o dalsze przedstawienie rozwiązania? Otrzymałem całki:
\int_{}^{}  \frac{1+ \sqrt{u^2-u} }{-u \sqrt{u^2-u} } du= \int_{}^{}  \frac{dt}{t}

Ale mam problem z rozwiązaniem tej pierwszej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 paź 2017, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
\int_{}^{}  \frac{1+ \sqrt{u^2-u} }{-u \sqrt{u^2-u} } du=\int_{}^{}  \frac{-1 }{u \sqrt{u^2-u} } du-\int_{}^{}  \frac{1 }{u } du=....
Pierwszą całkę upraszcza podstawienie u= \frac{1}{k}.


EDIT:
Problematyczna całka:
\int_{}^{}  \frac{-1 }{u \sqrt{u^2-u} } du=\left[ u= \frac{1}{k} \Rightarrow  \mbox{d}u= \frac{-1}{k^2}   \mbox{d}k  \right]= \int_{}^{}  \frac{-1}{ \frac{1}{k} \sqrt{(\frac{1}{k})^2-\frac{1}{k}}  } \frac{-1}{k^2} \mbox{d}k =\\= \int_{}^{}  \frac{ \mbox{d}k }{ \sqrt{1-k} }=2 \sqrt{1-k}+C=2 \sqrt{1- \frac{1}{u} } +C

Resztę pewnie już potrafisz policzyć.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 paź 2017, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Niestety dalej nie mogę sobie poradzić z tą całką. Proszę o przedstawienie rozwiązania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lis 2017, o 19:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6695
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\int_{}^{}  \frac{1+ \sqrt{x^2-x} }{-x \sqrt{x^2-x} } dx\\
\sqrt{x^2-x}=t-x\\
x^2-x=t^2-2tx+x^2\\
-x=t^2-2tx\\
2tx-x=t^2\\
x\left( 2t-1\right)=t^2\\
x=\frac{t^2}{2t-1}\\
t-x=\frac{2t^2-t-t^2}{2t-1}=\frac{t^2-t}{2t-1} \\
1+\sqrt{x^2-x}=\frac{t^2+t-1}{2t-1}\\
 \mbox{d}x =\frac{2t\left( 2t-1\right)-2t^2 }{\left( 2t-1\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{2t^2-2t}{\left( 2t-1\right)^2}\mbox{d}t\\
-\int{\frac{t^2+t-1}{2t-1} \cdot \frac{2t-1}{t^2} \cdot  \frac{2t-1}{t^2-t} \cdot  \frac{2\left(t^2-t\right)}{\left( 2t-1\right)^2}\mbox{d}t}\\
-2\int{\frac{t^2-t+2t-1}{t^2\left( 2t-1\right) } \mbox{d}t}\\
-2\int{\frac{\left( 2t-1\right)\left( t+1\right)-t^2  }{t^2\left( 2t-1\right)} \mbox{d}t}\\
-2\int{\frac{t+1}{t^2} \mbox{d}t}+\int{\frac{2}{2t-1} \mbox{d}t}\\
-2\ln{\left| t\right| }+\frac{2}{t}+\ln{\left| 2t-1\right| }+C\\
-2\ln{\left| x+\sqrt{x^2-x}\right| }+\frac{2x-2\sqrt{x^2-x}}{x^2-x^2+x}+\ln{\left| 2x-1+2 \sqrt{x^2-x} \right| }+C_{1}\\
-\frac{2\sqrt{x^2-x}}{x}-2\ln{\left| x+\sqrt{x^2-x}\right| }+\ln{\left| 2x-1+2 \sqrt{x^2-x} \right| }+C\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego - zadanie 2  mat06  4
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 rozwiązanie równania różniczkowego w exelu  MaC24  0
 Rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego  Sowa  4
 Rozwiązanie RR i reguła łańcuchowa  SasQ  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl