szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: WWA
Hej,
przerabiając zadania z punktów osobliwych i całek zespolonych napotkałam się na kilka trudności.

1. Mam zadanie w którym muszę wyznaczyć wszystkie osobliwości funkcji i w przypadku biegunów podać ich krotności.
Funkcja:

f(z)= \frac{1}{(1-cos z) ^{2}  }

wychodzi mi biegun = 2k \pi , k \in Z

i potem licząc krotność i korzystając z definicji: Rzędem bieguna z _{0} funkcji f nazywamy krotność tego punktu jako zera funkcji G = \frac{1}{f(z)}

wychodzi mi krotności równa 2, w odpowiedziach podają krotność tego bieguna równą 4. Muszę mieć jakiś błąd w rozumowaniu, a nie widzę skąd wynika różnica, pewnie chodzi o coś prostego :<.

2. Mam również zadanie, aby obliczyć całkę

\int_{}^{} \frac{1}{1+z ^{4} } dz

która jest liczona po T _{R} które jest brzegiem wycinka \left\{ re ^{it}: t \in \left[0,  \frac{ \pi }{2}  \right] , r \in [0,R] \right\}. A potem obliczyć:

I=  \int_{0}^{ \infty }  \frac{1}{1+x ^{4} } dx.

Nie wiem jak skorzystać tutaj z tego brzegu i parametryzacji, aby to obliczyć z Tw. o residuach.
Też mam kolejne pytanie, jak zachować się w związku z tym, że ta druga całka (I) jest od 0 do nieskończoności, a nie od minus nieskończoności? Korzystamy tutaj z lematu, który mówi że taka całka jest równa sumie residuów pomnożonej przez 2 \pi i, ale granice są inne niż w tym lemacie.

Każda pomoc będzie super mile widziana :D siedzę już nad tym trochę i nie umiem dojść do czegoś sensownego.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 16:26 
Użytkownik

Posty: 1477
Lokalizacja: Kraków
1) Weźmy G = (1 - \cos z)^2 i rozwińmy w szereg, mamy G = \left( 1 -  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \right)^2 =

= \left( 1 - 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{24}z^4 + ... \right)^2 = \left[ z^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{24}z^4 + ... \right) \right]^2 = z^4 \cdot H(z), gdzie H(0) \neq 0

No i stąd mamy krotność tego zera równą 4, a zatem rząd bieguna funkcja f też jest 4. Tutaj pokazałem dla 0, ale to się łatwo uogólnia na dowolne inne zera wobec okresowości cosinusa.



2) Tej pierwszej całki nie chce mi się liczyć, ale pomogę z drugą. Można zauważyć, że \frac{1}{1+x ^{4} } jest funkcją parzystą (a odpowiednia z niej całka jest zbieżna), więc \int_{-\infty}^{ 0 } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x =  \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x. Naturalnie jeśli się te całki zsumuje, to \int_{- \infty}^{0} +  \int_{0}^{\infty} =  \int_{\infty}^{\infty} = 2  \int_{0}^{\infty}, tak więc I = \frac{1}{2}  \int_{0}^{\infty} f(x) \dd x.
Co do tego typu całek to może zainteresuje Cię ten temat:
Góra
Kobieta
PostNapisane: 5 wrz 2017, o 07:17 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: WWA
dzięki wielkie za pomoc :)

co do tej całki, to policzyłam ją z tw. o residuach, rozbijając ten wycinek na 3 części i sumując całki.

tylko w odpowiedziach mam napisane, że (1-i)I=2 \pi i res _{e ^{ \frac{\pi i }{4} } } f(z)
i trochę nie rozumiem skąd to (1-i) przed wynikiem I, skoro jest tutaj tylko to jedno residuum :/
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj osobliwości  max123321  0
 Rodzaj osobliwości dla funkcji  primax  20
 Tw. całkowe o residuach  Bembolineob  3
 Rodzaje osobliwości  Anonymous  1
 Opisz osobliwości  max123321  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl