szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2017, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Otwock
Witam. Chciałbym poprosić o pomoc w zrozumieniu dowodu twierdzenia, które mówi że dla dowolnych dwóch okręgów K i K' istnieje homografia przeprowadzająca K w K'.

Dowód zaczyna się od tego, że obieramy trzy dowolne (różne) punkty z _{1}, z _{2}, z _{3} na okręgu K oraz trzy dowolne (różne) punkty w _{1}, w _{2}, w _{3} na okręgu K'. Następnie mamy rozwiązać ze względu na w następujące równanie

\frac{w-w _{1}}{w-w _{2}} : \frac{w_{3}-w _{1}}{w_{3}-w _{2}} = \frac{z-z _{1}}{z-z _{2}} : \frac{z_{3}-z _{1}}{z_{3}-z _{2}}.

I tutaj w dowodzie gubię się po raz pierwszy. O ile wiem, rozwiązanie tego ze względu na w powinno polegać na wykonaniu takich operacji, by po jednej stronie znaku równości znalazło się w, a po drugiej cała reszta (jednak po tej drugiej stronie już w być nie może). Zmierzając ku temu położeniu dochodzę do ślepiej uliczki, nie mogę dobrnąć do momentu gdy w będzie tylko po jednej stronie, a po drugiej już nie. Proszę o pomoc, wyjaśnienie co robię źle.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 kwi 2017, o 10:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8382
Lokalizacja: Wrocław
Można oznaczyć

A = \frac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} \\[1ex]
B = \frac{z-z_1}{z-z_2} : \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}

i równanie przyjmuje formę

\frac{w-w_1}{w-w_2} \cdot A = B.

Teraz już trochę łatwiej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 kwi 2017, o 13:50 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Otwock
Dziękuję, pomogło :).
Tyle, że wedle tych oznaczeń równanie przyjmuje formę \frac{w-w_1}{w-w_2} : A = B, no ale w porządku, wiadomo o co chodzi :).
Dalej w dowodzie napisane jest, że po rozwiązaniu początkowego równania ze względu na w otrzymujemy przekształcenie homograficzne przeprowadzające punkty z _{1}, z _{2}, z _{3} odpowiednio w punkty w _{1}, w _{2}, w _{3}, a więc okrąg K w K'.

Przekształcając z użyciem wskazówki dotarłem do postaci

w= 
\frac{w _{1} -  \frac{z-z _{1} }{z-z _{2}} \cdot \frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2}}  \cdot  w_{2}}
{1 - \frac{z-z _{1} }{z-z _{2}} \cdot \frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2}}}.

Następnie uznałem, że muszę upodobnić ten twór do funkcji homograficznej, czyli funkcji postaci

h(z)= \frac{az+b}{cz+d}.

Czyli chcąc 'oczyścić sytuację' w pobliżu zmiennej z na górze i na dole uzyskałem następujący wzór na w

w= \frac
{(w _{1} -  \frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2} } \cdot w _{2}) \cdot z
+
\frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2} } \cdot w _{2} z _{1} - w _{1} z _{2} }
{(1 -  \frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2} }) \cdot z
+
\frac{z _{3}-z _{2} }{z _{3}-z _{1}} \cdot \frac{w _{3}-w _{1} }{w _{3}-w _{2} } \cdot w _{2} z _{1} - z _{2}}.

No i teraz mam kilka pytań.
    1) Czy postąpiłem poprawnie i dowód można już uznać za skończony?
    2) Nie rozumiem dlaczego w ogóle zaczęliśmy w ten sposób, że mieliśmy rozwiązać ze względu na w to początkowe równanie. Ono się ma jakoś do okręgu? Czytałem coś nt. tzw. dwustosunku, ale nadal nie potrafię tego sam połączyć w całość.
    3) Ostatnie zdanie w tym szkicu dowodu jaki próbuję zrozumieć mówi, że wnętrze okręgu K przechodzi oczywiście przy przekształceniu takim jak to z pierwszego posta, albo całkowicie we wnętrze okręgu K', albo całkowicie na zewnętrze. Gdyby ktoś chciał jeszcze do tego się odnieść i napisać być może innymi słowami jak to rozumieć, to również byłbym wdzięczny :) .

Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 kwi 2017, o 14:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 751
Lokalizacja: Warszawa
Twierdzenie to dużo powiedziane. Wystarczy złożyć przesunięcie (przeprowadzając K na okrąg współśrodkowy z K') z jednokładnością (o środku w owym wspólnym środku i skali równej proporcji promieni).

Zaproponowany przez Ciebie dowód ma na celu pokazać coś więcej:
dla dowolnej trójki różnych punktów z_1,z_2,z_3 i drugiej trójki różnych punktów w_1,w_2,w_3 istnieje homografia posyłająca z_j na w_j (j=1,2,3).

Okręgi są tutaj na drugim planie. Załóżmy, że wykazałeś fakt wyżej. Jeśli przypadkiem z_j leżą na okręgu K, a w_j na K', to znaleziona homografia przeprowadza okrąg K na pewien okrąg (to własność homografii) przechodzący przez w_j, a więc na K' (nie ma innego okręgu o tej własności).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 kwi 2017, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Otwock
W porządku, a czy wiesz może czemu mój dowód rozpoczyna się od rozważenia równania

\frac{w-w _{1}}{w-w _{2}} : \frac{w_{3}-w _{1}}{w_{3}-w _{2}} = \frac{z-z _{1}}{z-z _{2}} : \frac{z_{3}-z _{1}}{z_{3}-z _{2}}?

-- 3 kwi 2017, o 09:22 --

Czy dzieje się tak z tego powodu, że tzw. dwustosunek jest niezmiennikiem homografii, i jeżeli przekształcając go dojdziemy do wzoru na funkcję homograficzną, to dowiedliśmy, że istnieje homografia między tymi punktami?

Przepraszam za post pod postem, ale tamtego już nie mogę wyedytować.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 paź 2017, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 751
Lokalizacja: Warszawa
Dokładnie tak, jak piszesz. Jeśli czwórka punktów (z_1,z_2,z_3,z) jest przeprowadzana przez homografię na (w_1,w_2,w_3,w), to obie czwórki muszą mieć ten sam dwustosunek, stąd
\frac{w-w _{1}}{w-w _{2}} : \frac{w_{3}-w _{1}}{w_{3}-w _{2}} = \frac{z-z _{1}}{z-z _{2}} : \frac{z_{3}-z _{1}}{z_{3}-z _{2}}
Przekształcając, otrzymujemy wzór na funkcję w(z); z powyższego wzoru wynika, że przeprowadza trójkę (z_1,z_2,z_3) na (w_1,w_2,w_3), a że jest homografią, to oceniamy po wyglądzie.

Można to sobie trochę uprościć, przyjmując (w_1,w_2,w_3)=(0,\infty,1) - wtedy lewa strona powyższego równania skraca się do w i nie trzeba więcej przekształcać. Jeśli umiemy znaleźć homografię h_{(z_1,z_2,z_3)} posyłającą (z_1,z_2,z_3) \mapsto (0,\infty,1), to umiemy też znaleźć homografię h_{(w_1,w_2,w_3)}^{-1} \circ h_{(z_1,z_2,z_3)} posyłającą (z_1,z_2,z_3) \mapsto (w_1,w_2,w_3) (tutaj oczywiście nie obędzie się bez przekształceń, jeśli chcemy mieć jawny wzór).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód przejścia w okrąg jednostkowy  mbyron95  6
 Okrąg i proste do niego styczne  Krzysiek...  4
 Trójkąt równoboczny - okrąg wpisany i opisany  karolex123  2
 okrąg - zadanie 29  RafalM  3
 Trójkąt. Okrąg wpisany i opisany. Równość odcinków.  Sylwia0922  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl