szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2017, o 13:33 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Ciąg liczbowy x _{n} zadany jest wzorem rekurencyjnym

x_1 = 10 i x_{n+1} = 4 +  \sqrt{x_n +2} dla dowolnego n \ge 1.

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność tego ciągu, a następnie obliczyć jego granicę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2017, o 13:43 
Użytkownik

Posty: 5840
Lokalizacja: Kraków
wsk x_n \geq 7
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2017, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
To akurat zauważyłem, wyszło mi też, że dopóki x_n > 7 to ciąg maleje, czyli dla każdych x_n maleje, ale dalej nie wiem jak się za to zadanie zabrać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2017, o 14:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2256
Lokalizacja: hrubielowo
Właściwie to już sam sobie odpowiedziałeś.

Cytuj:
wyszło mi też, że dopóki x_n > 7 to ciąg maleje, czyli dla każdych x_n maleje,


Tu powinno być do póki x_1>7 to...

Ale można pokazać ograniczenie z doły przez 7. Indukcyjnie :

10 \ge 7

x_n \ge 7

Sprawdzamy czy

x_{n+1} \ge 7

z założenia wiemy że

4+ \sqrt{x_n_2} \ge 7

3 \le  \sqrt{x_n+2}

7 \le x_n

co kończy dowód ograniczoności

Więc mamy ciąg ograniczony z dołu i malejący więc istnieje granica g \ge 7

spełniająca takie równanie :

g=4+ \sqrt{g+2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciag rekurencyjny - zadanie 21  bekisssablex3  0
 Ciąg rekurencyjny - zadanie 17  Heniek1991  4
 ciąg rekurencyjny - zadanie 18  rafalafar  2
 ciąg rekurencyjny - zadanie 50  ann_u  0
 Ciąg rekurencyjny - zadanie 15  miodek1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl