szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 18 sie 2016, o 12:22 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Warszawa
Cześć, wakacje wakacjami, ale zadanka też są, więc jeśli ktoś mógby mi pomóc, byłbym wdzięczny.
A więc dla x>0 dany jest szereg \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot  \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right) Wykazać jego zbieżność, czy funkcja f\left( x\right)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot  \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right) jest ciągła dla x>0? Czy jest różniczkowalna dla x>0?

Dla x>0 wiemy, że\arctan x + \arctan 1/x= \pi/2 i \arctan  \left( y \right) <y więc\left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot  \left( \arctan \left(nx \right) - \frac{ \pi }{2} \right)      \right|  = \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot  \left( \arctan \frac{1}{nx} \right)   \right| \le   \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot  \frac{1}{nx}  \le  \frac{1}{n ^{ \frac{101}{100} } } który jest zbieżny, zatem z kryt. Weierstrassa szereg \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot  \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right) jest zbieżny i i to jednostajnie. Ponadto, wyrazy tego szeregu są funkcjami ciągłymi, zatem z tego oraz z jego jednostajnej zbieżności wynika, że funcja f \left( x \right) jest ciągła dla x>0. Natomiast co do różniczkowalności to nie mogę znaleźć x_{o} tże ten szereg jest zbieżny, bo chciałem skorzystać z tw. o różniczkowalności szer. potęgowych, ale w sumie czy tu można je stosować? To nie jest szereg postaci \sum_{n=1}^{ \infty }   a_{n} x^{n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2016, o 21:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13983
Lokalizacja: Wrocław
michcior napisał(a):
\left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \left(nx \right) - \frac{ \pi }{2} \right) \right| = \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \frac{1}{nx} \right) \right| \le \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot \frac{1}{nx} \le \frac{1}{n ^{ \frac{101}{100} } }

Ta ostatnia nierówność jest dość słaba, gdy ustalisz (nawet dowolnie wielkie, jakie byś sobie tylko chciał) n, a będziesz "jeździć" iksami w pobliżu zera (tj. bardzo małe x dodatnie).

Nie wiem teraz, jak to poprawić.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2016, o 23:55 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
Wystarczy ostatnią nierówność zastąpić przez

\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{nx} \le \frac{1}{\alpha \cdot n \sqrt{n}}

i powiedzieć, że zachodzi dla x \ge \alpha (gdzie \alpha > 0), więc szereg jest niemal jednostajnie zbieżny, co wystarczy, żeby suma była ciągła. Jednostajnej zbieżności dla x > 0 nie można natomiast pokazać, bo jej nie ma.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sie 2016, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Warszawa
Ok,ta nierownosc rzeczywiście wydawała mi się dziwna, jak zacząłem ja pisać, natomiast co z rozniczkowalnoscia szeregu?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Jakie są dowody na nieistnienie zer funkcji dzeta?  seiwopurk 1  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl