szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 cze 2016, o 13:48 
Użytkownik

Posty: 145
Lokalizacja: Polska
Znaleźć punkty zerowe i zbadać ich krotność.

f(z)=e^{z^2}-1



e^{z^2}-1=0

e^{z^2}=1

z^2=2k \pi i

z_{k})= \sqrt{2k \pi i}


f'(z)=2ze^{z^2}
f'(z_{k} \neq 0

więc zero 1-krotne?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 cze 2016, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 366
Lokalizacja: Warszawa
Po pierwsze dla k\neq 0:
z^2=2\pi k i
ma dwa różne rozwiązania.
Jeżeli k>0, to:
u_k=\sqrt{2\pi k}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin{\frac{\pi}{4}})
oraz:
v_k=-\sqrt{2\pi k}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin{\frac{\pi}{4}})
jeżeli k<0, to:
u_k=\sqrt{2\pi |k|}
oraz:
v_k=-\sqrt{2\pi |k|}
Po drugie dla k=0
masz z=0 i:
e^{z^2}-1=\frac{z^2}{1!}+\frac{z^4}{2!}+\frac{z^6}{3!}+...
to oznacza, że to zero będzie dwukrotne.
Tutaj napisana jest nieprawda:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 cze 2016, o 14:24 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8449
Lokalizacja: Wrocław
Slup napisał(a):
Ogólnie f(z)=e^{z^2}-1 będzie dwukrotna na całej płaszczyźnie.

Co to znaczy?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 cze 2016, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 366
Lokalizacja: Warszawa
Dasio11 napisał(a):
Slup napisał(a):
Ogólnie f(z)=e^{z^2}-1 będzie dwukrotna na całej płaszczyźnie.

Co to znaczy?

To powinno znaczyć tyle(w mądrych słowach), że:
f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\setminus \{0\}
jest nakryciem dwukrotnym rozgałęzionym. W prostych słowach(w tym wypadku) oznacza to, że dla każdego punktu p\in \mathbb{C}\setminus \{0\} przeciwobraz f^{-1}(p) jest dwupunktowy lub równanie f(p)-p=0 ma podwójny pierwiastek.
Niestety napisałem nieprawdę, bo f nie jest dwukrotnym nakryciem rozgałęzionym \mathbb{C}\setminus \{0\} tylko nakryciem rozgałęzionym o nieskończonej krotności, co właściwie pokazuje rozwiązanie wyżej lub co widać gołym okiem(zazwyczaj). Poprawiam. Dziękuje za to pytanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 punkty osobliwe i residuum - zadanie 2  Jacek_fizyk  2
 krotność zera funkcji holomorficznej/rozwijanie w szereg  boski_login  1
 Krotność zera  grazyna  2
 punkty osobliwe - zadanie 4  niebieska_biedronka  3
 znaleźć wzór na pochodną arcsinz  gienia  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl