szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2016, o 00:31 
Użytkownik

Posty: 5820
Lokalizacja: Kraków
Wielomian f \left( x \right) stopnia n \geq 1 o współczynnikach z ciała K jest nierozkładalny w tym ciele, jeśli nie można go przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia niższego niż n o współczynnikach z ciała K; w przeciwnym razie wielomian ten jest rozkładalny w ciele K.


Niech f \left( x \right) = a_0x^n + a_1x^{n-1}+ ...+ a_n


Kryterium Eisensteina
Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i podzielne przez jakąś liczbę pierwszą p, oprócz a_0 który nie jest podzielny przez p, oraz a_n nie jest podzielne przez p^2, to ten wielomian nie jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych

Przykład (OM)
Udowodnić, że wielomian f \left( x \right) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6 nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych ( tzn, że f jest nierozkładalny w Z ( zbiór liczb całkowitych).

Rozwiązanie tego zadania jest wnioskiem z powyższego (dla p=3).

Uwagi:
i) Założenie iż a_n nie jest podzielne przez p^2 jest istotne (inaczej teza jest fałszywa; np. f \left( x \right)  = x^2- 6x+9)
ii) Dla niektórych wielomianów jak np. f \left( x \right)  = x^4+x^3+x^2+x+1 można skorzystać z tej metody pośrednio, tj. przez podstawienie y=x-1 mieć g \left( y \right)  = y^4+5y^3+10y^2+10y+5 nierozkładalny (tj. f także) z k. E. Jednakże f jest rozkładalny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż x^4+x^3+x^2+x+1 =  \left( x^2 + \frac{1}{2} x+ 1 \right) ^2 - \frac{5}{4} x^2.


Przykład (wielomianu rozkładalnego)
W \left( x \right) = x^5+ x- 1 =  \left( x^3 +x^2 -1 \right)  \left( x^2 - x + 1 \right)

Na ogół poszukiwanie rozkładu sprowadza się do wyznaczania stosownych współczynników np. W \left( x \right) = x^5+ x- 1 =  \left( x^3 +ax^2 +bx+c \right)  \left( x^2 +d x + e \right) lub też o ile to możliwe przekształcenia np. x^4-4x +1 =  \left( x^2+1 \right) ^2 - 2 \left( x+1 \right) ^2 itp.


Wielomian stopnia mniejszego niż n \leq 4 o współczynnikach wymiernych jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych jeśli ma pierwiastek wymierny; wielomiany wyższych stopni mogą być rozkładalne mimo, że nie mają wymiernych pierwiastków; np. f \left( x \right) =x^6-9 itp.
Wielomian f \left( x \right)  = x^4+ b_1x^3 +b_2x^2 + b_3x+ b_4 o współczynnikach wymiernych jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych jeśli ma wymierny pierwiastek albo jeśli związany z nim wielomian stopnia trzeciego
k \left( t \right)  = 8t^3 - 4b_2t^2 +  \left( 2b_1b_3 - 8b_4 \right) t  -  \left( b_1^2b_4 - 4b_2b_4 +b_3^2 \right)
ma pierwiastek wymierny t_0 i liczby
\begin{cases} \lambda = \sqrt{2t_0 + \frac{1}{4}b_1^2 - b_2} \\ \mu = \sqrt{t_0^2 - b_4} \end{cases}
są wymierne; i f  \left( x \right)  =  \left( x^2 +  \left( \frac{1}{2}b_1 +\lambda \right) x + t_0 + \mu  \right)  \left( x^2 +  \left( \frac{1}{2}b_1 - \lambda \right) x + t_0 - \mu  \right)

Przykład
Niech f \left( x \right)  = x^4 -2x^3 - 7x^2 - 10x -2; wtedy f nie ma wymiernych pierwiastków; k \left( t \right)  = 8t^3 +28t^2+56t -36 i t_0= \frac{1}{2} oraz \lambda = \pm 3  \ \  \mu = \pm \frac{3}{2}; ostatecznie
f \left( x \right)  =  \left( x^2+2x+2 \right)  \left( x^2-4x-1 \right)


Istnieją różne inne kryteria, np. takie:
Jeśli wielomian f przyjmuje wartości \pm 1 dla więcej niż 2l wartości całkowitych x gdzie n=2l lub n=2l+1 to f jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przykład
Niech g \left( x \right) =3f \left( x \right)  = x^3 -x-3 to fma tę własność, że
\begin{cases}f \left( 0 \right) =-1 \\ f \left( 2 \right) = 1 \\ f \left( -1 \right)  = -1 \end{cases}
i jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Kryterium Poly’a
Niech dla wielomianu f, A będzie największą z liczb |a_1|, ..., |a_n| zaś k liczbą całkowitą: k \geq \frac{A}{a_0} + \frac{3}{2}, wtedy jeśli f \left( k-1 \right)  \neq 0 i f \left( k \right) jest liczbą pierwszą to f jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przykład
Niech f \left( x \right)  = x^3-x^2+x +1; wtedy A=1 i k \geq \frac{5}{2}; jak i f \left( 3 \right)  =22 i f \left( 4 \right)  = 53 tj. f jest nierozkładalny


Przykład/ Zadanie
Czy wielomian f \left( x \right)  =x^5 - 2x^4 - 3x^3+6x^2+ x -1 jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych ?

Źródła:
W. I. Proskuriakow - Algebra wyższa
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Porównywanie wielomianów  jahptb  11
 element odwracalny w pierścieniach wielomianow  katmat  3
 Rozkładanie wielomianów na czynniki - zadanie 9  owenidas  1
 pare zadan z wielomianow  gazda  3
 Dzielenie wielomianów w pierścieniu - zadanie 3  Piter9414  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl