szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 kwi 2016, o 14:53 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Fizyk Jean-Marc Richard udowodnił niedawno następującą własność elipsy. Dla każdego punktu na elipsie istnieje taki równoległobok wpisany w tę elipsę, którego jednym z wierzchołków jest ten punkt oraz którego obwód jest maksymalny spośród wszystkich równoległoboków wpisanych w tę elipsę.

    J.-M. Richard, Safe domain and elementary geometry, Eur. J. Phys. 25 (2004) 835-844.

Inny dowód podali Alain Connes i Don Zagier


Może ktoś ma ochotę się wspólnie zastanowić nad możliwym uogólnieniem na wyżej wymiarowe równoległościany wpisane w elipsoidy. Oczywiście zamiast obwodu pytalibyśmy o (n-1)-wymiarową miarę brzegu takiego równoległościanu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lip 2019, o 01:31 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Gdańsk
Oznaczmy n-wymiarową elipsoidę przez \varepsilon^{N}. Skorzystajmy z faktu, że każda elipsoida składa się z nieskończenie wielu elips,
które są do siebie podobne. Niech v_{0} będzie dowolnym punktem należącym do \varepsilon^{3} . Oznaczmy równoległobok
o najdłuższym obwodzie przez \rho_{v} , którego wierzchołekiem jest punkt v_{0} . Rozważmy zbiór punktów, które są wierzchołkami równoległoboku o największym obwodzie i podobnymi do \rho_{v} , które są opisane na danej elipsie, a każda elipsa należy do danej \varepsilon^{3} Łatwo można zauważyć, że geometrycznie ten zbiór wygląda jak ostrosłup o podstawie \rho_{v} . Problem w tym, że ostrosłup nie jest równoległościanem, zatem chcąc uzyskać figurę o największym obwodzie musimy "obciąc" czubek ostrosłupa równolegle do jego podstawy, lecz pojawia się kolejny problem, a mianowicie dla każdego skrócenia czubka możemy znaleźć krótszy. Innymi słowy, szukając supremum przedziału pół-otwartego [0,c), a jak wiadomo kres górny takiego zbioru to c, a gdy tak jest uzyskujemy ostrosłup, zatem nie istnieje równoległościan wpisany w \varepsilon^{3} . Z powyższego faktu wynika, że nie da się znaleźć maksymalnego równoległościanu w \mathbb{R}^{N}, N \ge 3 , ponieważ N wymiar składa się z N-1 wymiaru, a skoro nie jest możliwe dla trójwymiaru to dla czwartego też, a skoro tak to dla piątego też nie itd... zakładając metrykę euklidesową d(x,y)=  \sqrt{\sum_{i=1}^{N} (a_{ix}-b_{iy})^{2}}
lecz nie umiem rozstrzygnąć, czy istnieje pewna metryka d, która spełniałaby twierdzenie Jean-Marc Richard'a na wyższych wymiarach.
Życzę wszystkim miłego dnia i chwała matematyce!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt równoboczy i sześciokąt foremny wpisane w okręgi  Sylwusiaa21  2
 Przecięcie elipsoidy i płaszczyzny  mirkaluk  4
 Dwa trójkąty wpisane w okrąg  Wormsek  0
 Dwie kule, wpisane w kule, styczne ze sobą.  buczoprazy  0
 wielokąty foremne-okręgi wpisane i opisane  karolina123456  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl