szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 23 paź 2015, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 205
Lokalizacja: Mielec
Dziś na konkursie miałam do rozwiązania następujący układ równań:
\begin{cases} x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}

Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, żeby się nie zagrzebać w obliczeniach... Pomoże ktoś?

Btw jestem tu nowa i nie udało mi się zrobić potęg, jeżeli ktoś byłby łaskaw wyjaśnić jak zrobić indeks górny to będę wdzięczna.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 paź 2015, o 13:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13923
Lokalizacja: Wrocław
Zapisałaś w miarę OK, tylko jeszcze trzeba by dodać klamry
Kod:
1
[tex][/tex]
, a jeszcze lepiej zrobić układ równań, odpowiedni przycisk masz po lewej od okna szybkiej odpowiedzi. Jest na tej stronie instrukcja \LaTeXa, więc skoro startujesz w konkursach (nawet regionalnych), to powinnaś sobie dać z tym radę.
Co do rozwiązania: racz zauważyć, że skoro x+y+z=1, to (x+y+z)^{2}=1, a odejmując od tego równość x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, dostajesz wniosek, że xy+xz+yz=0. Tymczasem jest x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)+3xyz i wstawiając do tej ostatniej tożsamości x+y+z=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
oraz xy+yz+xz=0, dostajesz wniosek, że 3xyz=0, czyli co najmniej jedna z liczb x,y,z jest zerem. Zauważmy, że ten układ równań jest symetryczny ze względu na zmienne x,y,z, więc rozważmy tylko x=0. Wtedy skoro xy+xz+yz=0, to również y=0 lub z=0, dla ustalenia uwagi y=0. Wtedy skoro x+y+z=1, to musi być z=1. Stąd otrzymujesz takie rozwiązania:
(x=0 \wedge y=0 \wedge z=1) \vee (x=0\wedge y=1\wedge z=0) \vee (x=1\wedge y=0\wedge z=0). Łatwo się przekonać, że istotnie są one rozwiązaniami układu.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 paź 2015, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 5805
Lokalizacja: Kraków
albo też z tego , że xy= z^2- z i z 1- z^3= itd.
tj. Jeśli z \neq 1 to \frac{1-z^3}{1-z} = \frac{x^3+y^3}{x+y}  =x^2 - xy +y^2 = 1-z^2 - (z^2- z)
tj. z=0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 paź 2015, o 17:37 
Użytkownik

Posty: 969
Lokalizacja: Polska
Niech x,y,z będą pierwiastkami równania x^3-ax^2+bx-c=0. Ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia dostajemy:
x+y+z=a \\
xy+yz+xz=b \\
xyz=c

Z pierwszego równania dostajemy a=-1.
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + xz)=a^2-2b=1-2b=1, skąd b=0.
Ostatecznie:
x^3 = ax^2 - bx + c \\
y^3 = ay^2 - by + c \\
z^3 = az^2 - bz + c
Skąd x^3+y^3+z^3=a(x^2+y^2+z^2)-b(x+y+z)+3c=a-b+3c=1+3c=1, skąd c=0. Stąd rozwiązaniem równania są pierwiastki wielomianu x^3-x^2=0. Są to zatem następujące trójki: (x,y,z)=\left\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1) \right\}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 paź 2016, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
\begin{cases} x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}

Z układu równań można wydedukować:
x^{2}+y^{2}+z^{2} - x - y - z = 0\\
x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 0;
Co nam daje możliwe rozwiązania
(x,y,z)  \rightarrow  (0,0,0)\ (0,0,1)\ (0,1,1)\ (1,1,1)\ (0,1,0)\ (1,1,0)\ (1,0,0)
Podstawiamy rozwiązania do x^{3}+y^{3}+z^{3}=1

Ostatecznie (x,y,z) = (0,0,1), (x,y,z) = (0,1,0), (x,y,z) = (1,0,0).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 paź 2016, o 23:15 
Gość Specjalny

Posty: 3044
Lokalizacja: Gołąb
VereX napisał(a):
Z układu równań można wydedukować:
x^{2}+y^{2}+z^{2} - x - y - z = 0\\
x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 0;
Co nam daje możliwe rozwiązania
(x,y,z)  \rightarrow  (0,0,0)\ (0,0,1)\ (0,1,1)\ (1,1,1)\ (0,1,0)\ (1,1,0)\ (1,0,0)
Podstawiamy rozwiązania do x^{3}+y^{3}+z^{3}=1

Ostatecznie (x,y,z) = (0,0,1), (x,y,z) = (0,1,0), (x,y,z) = (1,0,0).


Bzdury. Te wnioski są błędne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 paź 2016, o 23:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13923
Lokalizacja: Wrocław
Patrzę i podziwiam sobie ładne rozwiązanie usera AndrzejK, ale tak mnie naszło, czy nie można tego zrobić jeszcze prościej.
Skoro x^2+y^2+z^2=1, to liczby x,y,z należą do przedziału [-1,1].
Ale dla wszystkich a \in \RR takich, że |a| \le 1 mamy
a^3 \le a^2, bo równoważnie: a^2(1-a) \ge 0, co z uwagi na nieujemność czynników kończy dowód. Równość dla a=0 \vee a=1.
Zatem skoro x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2=1, to x^3=x^2 \wedge y^3=y^2 \wedge z^3=z^2 i wszystkie te liczby są zerami lub jedynkami.
Z równości x+y+z=1 wnioskujemy, że dokładnie jedna jest jedynką, a pozostałe to zera.

Jestem do bani z matmy, więc powiedzcie: ma to sens?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2016, o 00:38 
Gość Specjalny

Posty: 3044
Lokalizacja: Gołąb
Premislav, bardzo ładnie :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2016, o 14:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13923
Lokalizacja: Wrocław
bakala12, dzięki za sprawdzenie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2016, o 15:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, ładnie i nawet nie musisz pod koniec angażować w to równości x+y+z=1 (z twojego sposobu wynika, że to równanie jest nam zbędne).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 paź 2016, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3695
Lokalizacja: blisko
To ja dorzucę swoje trzy grosze:

A=1

A^2-2B=1

A^3-3AB+3C=1

Z tegoB=C=0

z tego żeC=0 wynika np. że: x=0

z tego żex=0, i B=0 wynika np. ,żey=0

a z tego , że x=0, y=0 i A=1 wynika, że z=1

a że można na okrągło mamy w końcu:

(x,y,z)=(0,0,1)

Nie będę tłumaczył co to A,B,C bo obraziłbym tym swoich sławnych przedmówców.

Lecz jeśliby znalazł się ktoś kto by tego nie wiedział (w co absolutnie nie wierzę) niech dyskretnie kliknie na pw.

A=x+x+z

B=xy+xz+yz

C=xyz
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 paź 2016, o 06:25 
Użytkownik

Posty: 16616
Lokalizacja: Bydgoszcz
A ja nie mam zamiaru zgadywać i poproszę o objaśnienie oznaczeń
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 paź 2016, o 11:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3695
Lokalizacja: blisko
To wyjaśniłem...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Jasło] IV Konkurs Matematyczny im. Hugona Steinhausa  Skrzypu  24
 [Rzeszów] IV Podkarpacki Konkurs Matematyczny  Skrzypu  14
 [Lublin] Konkurs ZSE w Lublinie i OSN w Zamosciu  sad  2
 [gimnazjum] Konkurs, zadania 2. serii  Dargi  4
 [Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2006  DEXiu  32
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl