szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2015, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 5820
Lokalizacja: Kraków
Twierdzenie Sturma
Jest to sposób określania ilości pierwiastków rzeczywistych wielomianu W(x) w zbiorze <a, b> gdzie a<b oraz
W(a) \neq 0 i W(b) \neq 0 przy założeniu, że te pierwiastki są różne.
(tj. jeśli W(x)= (x-x_0)^k V(x) i V jest wielomianem, a x_0 jest pierwiastkiem wielomianu W to k=1).

Określa się tzw. łańcuch Sturma:
W(x), \ W^{\prime}(x) ,  \  W_1(x), \ W_2(x) , \ …  \ , W_m(x) = const
gdzie W_1(x) jest resztą z dzielenia W(x) przez W^{\prime} (x) (ale ze znakiem przeciwnym), następnie W_2(x) jest resztą z dzielenia W^{\prime} (x) przez W_1(x) (ale ze znakiem przeciwnym) ... itd.

Następnie zestawia się je:
\begin{cases}W(a), \ W^{\prime}(a),  \  W_1(a), …,  \  W_m(a)  \\ W(b), \ W^{\prime}(b),  \  W_1(b), … ,  \  W_m(b)  \end{cases}
wyznaczając A i B: są to ilości zmian znaków (z plus na minus lub z minus na plus) dla obydwu tych ciągów (zera są pomijane); Wyrażenie |A-B| jest równe ilości miejsc zerowych wielomianu W w przedziale <a, b>.

Przykład
Ile miejsc zerowych ma wielomian W(x) = x^3 - 6x+2 w przedziale <0, 5> ?

Rozwiązanie
łańcuch Sturma:
x^3 - 6x+ 2 , \ 3x^2 - 6 , \ 4x - 3 , \  \frac{69}{16}
tj. gdy
x=a=0: 2, \  -6, \  -3, \ \frac{69}{16} tj. \ A=2
x=b=5: 97, \  69, \  17, \ \frac{69}{16} tj. \ B=0

czyli wielomian W ma w tym przedziale A-B=2 miejsca zerowe.

Uwagi:
Nietrudno jest zauważyć, że W ma trzy pierwiastki (miejsca zerowe) rzeczywiste x_1, x_2, x_3; przy czym jeden z nich jest ujemny (x_3= - x_1 - x_2<0; wzory Viety) a dwa z nich tj. x_1 i x_2 są w przedziale <0,5> ( 0< x_1< 1 ; 2< x_1< 3).

rys.
Obrazek

Uwagi:
Twierdzenie to można stosować też dla wielomianów mających pierwiastki wielokrotne, z tym że wtedy W dzieli się przez NWD(W,  W^{\prime}) co daje wielomian o tych samych pierwiastkach jak W ale już jednokrotnych.
Np. gdy W(x)=x^5 - 3x^4+3x^3 - x^2 =x^2(x-1)^3 to W^{\prime}(x)= x(x-1)^2(5x-2) dzieląc W(x) przez x(x-1)^2 jest wielomian x(x-1) itp.

Aby obliczyć ilość wszystkich miejsc zerowych wielomianu W(x)= \sum_{j} a_jx^j można też tą metodą np. w przedziale <-M, M> gdy M=1+ \sum_{j} |a_j|.

Znaczenie metody: jest ona jedną z metod przybliżonego rozwiązywania równań (przez wstępne wyznaczenie przedziałów, w których one są). Następnie można lepiej przybliżać te pierwiastki przez inne metody numeryczne; np. metodę stycznych (Newtona) itp.

Ukryta treść:    
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Łańcuch markowa + 4 graczy  kakiet  8
 moment stopu, łańcuch Markowa, funkcja tworząca, SPWL  blackbird936  2
 Łańcuch (maksymalny), antyłańcuch (maksymalny)  norbi1952  1
 Łańcuch  salda_fadla  4
 Łańcuch Markowa i granica  jackie  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl