szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 30 sie 2015, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 339
Lokalizacja: Polska
Sprawdzić, czy dla f(z)=\sqrt{|\Re z||\Im z|} istnieje f'(0), z=x+iy.

Czyli mogę pokazać, że albo warunki C-R nie są spełnione w tym punkcie, czyli nie istnieje f'(0), albo, jeśli są spełnione, to że u i v są różniczkowalne w (x_0,y_0), czyli istnieje f'(0), tak?

Sprawdziłam, że warunki C-R są spełnione.
Teraz różniczkowalność u i v:
v=0, więc różniczkowalne.
u=\sqrt{|xy|}.

\lim_{(h_1,h_2) \to 0}  \frac{u(h_1,h_2)-u(0,0)-[u_x(0,0),u_y(0,0)][h_1,h_2]}{||[h_1,h_2]||}=\lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{ \sqrt{|h_1h_2|}}{\sqrt{(h_1)^2+(h_2)^2}}

Nie umiem dalej
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 sie 2015, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 4950
Ta granica jest równa 0, bo przechodząc np. na współrzędne biegunowe otrzymujemy

\lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 sie 2015, o 16:08 
Użytkownik

Posty: 339
Lokalizacja: Polska
A jak to się tutaj przechodzi na biegunowe?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 sie 2015, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 4950
h_{1}= r\cos(\alpha)
h_{2}= r\sin(\alpha).
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 sie 2015, o 16:41 
Użytkownik

Posty: 339
Lokalizacja: Polska
Czyli wychodzi, że u jest różniczkowalne i istnieje f'(0), tak?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 sie 2015, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 4950
Sprawdziłaś, że spełnione są warunki Cauchy-Riemanna i z definicji istnieje pochodna w punkcie 0, a więc u jest rózniczkowalne i istnieje pochodna w tym punkcie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sie 2015, o 01:56 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8458
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
\lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.


Nie powinno być \lim_{\alpha \to 0}, bo \alpha jest parametrem. A skoro wartość wyrażenia \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha} zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 31 sie 2015, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 339
Lokalizacja: Polska
Możesz bardziej wyjaśnić o co chodzi z tym parametrem i dlaczego ta granica nie istnieje?

Dasio11 napisał(a):
A skoro wartość wyrażenia \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha} zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.


Zawsze chyba wartość zależy od parametru, to znaczy że nie można w ogóle parametryzować, żeby liczyć granice, czy coś źle rozumiem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sie 2015, o 14:11 
Użytkownik

Posty: 4950
Sprawdzając istnienie granicy funkcji dwóch zmiennych za pomocą współrzędnych biegunowych, żąda się, aby promień r \rightarrow 0, natomiast kąt \alpha pozostawał dowolny.

Ponieważ granica zależy od kąta 2\alpha, dlatego jak słusznie zauważył kolega Dasio11 -nie istnieje.

Sprawdzenie istnienia granicy drugą metodą.

Niech ciąg (h_{1n}, h_{2n}) \rightarrow (0, 0) i h_{2n} =ah_{1n},  a\in R.

Podstawiając do granicy

\lim_{(h_{1n},h_{2n}) \rightarrow (0,0)} \frac{\sqrt{h_{1n}h_{2n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n}+h^{2}_{2n}}} = \lim_{h_{1n} \rightarrow 0}\frac{\sqrt{ah^{2}_{1n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n} +  a^{2}h^{2}_{1n}}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^{2}}}.

Granica ta zależy od liczby a, a więc istnieje nieskończenie wiele takich granic, czyli nie istnieje dokładnie jedna
Przepraszam za wprowadzenie w błąd.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 31 sie 2015, o 22:15 
Użytkownik

Posty: 339
Lokalizacja: Polska
Ok, czyli u nie jest różniczkowalna w (0,0). Bo właśnie nie wiem, czy z tego wynika, że nie istnieje pochodna f'(0)?
Mam takie twierdzenie, że jak C-R są spełnione i u, v są różniczkowalne w tym punkcie, to istnieje pochodna.
A drugie, że jak istnieje pochodna, to C-R spełnione i istnieją pochodne cząstkowe u i v.
Ale nie mam nic o tym, co jak u albo v nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

To co mogę tu jeszcze zrobić?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 wrz 2015, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 4950
Funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie ( 0, 0), bo nie istnieje pochodna funkcji w tym punkcie. Warunki C-R są warunkami koniecznymi istnienia pochodnej ale niedostecznymi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Wykazać, że f(z) nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.  MoonW  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl