szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2015, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 139
Lokalizacja: łódź
Nikt nie zrobił tematu, więc go zrobię. Pojawiły się już oficjalne wyniki zawodów, a zadania są już dawno dostępne na stronie IMO.
link do wyników polaków:link

jak ktoś chce mogę przepisać zadania, aby były na forum, ale na stronie IMO też są.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2015, o 19:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
marcin7Cd napisał(a):
jak ktoś chce mogę przepisać zadania, aby były na forum
chcę

podobno zadania z drugiego dnia były zmieniane na szybko dzień przed zawodami, bo wcześniej ustalony zestaw wyciekł

gratulacje dla polskiej drużyny!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2015, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 139
Lokalizacja: łódź
Oto zadania:
Dzień 1.

Zadanie 1. Skończony zbiór S składający się z punktów na płaszczyźnie nazwiemy zbalansowanym jeśli dla każdej pary różnych punktów A i B należących do S istnieje punkt C należący do S taki, że AC=BC. Powiemy, że S jest bezśrodkowy, jeśli nie istnieje trójka parami różnych punktów A,B i C należących do S, dla której istniałby punkt P należący do S spełniający PA=PB=PC

(a)Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej n \ge 3 istnieje zbalansowany zbiór składający się z n punktów

(b) Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite n \ge 3 , dla których istnieje zbalansowany bezśrodkowy zbiór składający się z n punktów

Zadanie 2. Wyznacz wszystkie trójki (a,b,c) dodatnich liczb całkowitych, dla których każda z liczb
ab-c,bc-a,ca-b
jest potęgą dwójki

Zadanie 3. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC , w którym AB>AC. Niech \Gamma będzie okręgiem opisanym na tym trójkącie. H będzie ortocentrum, zaś F będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka A. Punkt M jest środkiem boku BC. Niech Q będzie punktem na okręgu \Gamma dla którego \angle HQA = 90, zaś K będzie punktem na okręgu \Gamma dla którego \angle HKQ=90. Przypuśćmy, że punkty A,B,C,K i Q są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \Gamma
Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach KQH oraz FKM są do siebie styczne

Dzień 2.

Zadanie 4. Okrąg \Omega o środku w punkcie O jest opisany na trójkącie ABC. Okrąg \Gamma o środku w punkcie A przecina odcinek BC w punktach D i E przy czym punkty B,D,E oraz C są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na prostej BC. Punkty F i G są punktami przecięcia okręgów \Gamma i \Omega przy czym punkty A,F,B,C oraz G leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \Omega. Niech K będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie BDF z odcinkiem AB. Niech L będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie CGE z odcinkiem CA.

Przypuśćmy, że proste FK i GL są różne i przecinają się w punkcie X. Udowodnić, że punkt X leży na prostej AO

Zadanie 5. Wyznaczyć wszystkie funkcje f:R \rightarrow R spełniające równanie
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)
dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y

Zadanie 6. Dany jest ciąg a_1,a_2,... liczb całkowitych spełniający następujące warunki:
(i) 1 \le a_j \le 2015 dla wszystkich j \ge 1
(ii) k+a_k \neq l+a_l dla wszystkich 1\le k<l
Wykazać, że istnieją dodatnie liczby całkowite b oraz N takie, że
|\sum^{n}_{j=m+1}(a_j-b)|\le 1007^2
dla wszystkich liczb całkowitych m i n spełniających n>m \ge N
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2015, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 392
Lokalizacja: Bonn
No ogólnie gratulacje dla całej naszej reprezentacji za bardzo dobry wynik, a szczególne gratulacje należą się Adamowi, który naprawdę rozwalił ten contest.
3.
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [XLIX MOM] wyniki Polaków  Dumel  1
 Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93  Logoandre  2
 LI IMO - wyniki  Sylwek  24
 [IMO 2012] Zadania  kalmar  5
 EGMO 2013 - zadania  Msciwoj  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl