szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2015, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: PL
Niech \left( G, \cdot \right) będzie grupą macierzy nieosbliwych \RR ^{2x2}. Czy zbiór:
H=\left\{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0\\  a & b  \end{array}\right]  \in G : a  \neq 0  \wedge b \in \RR\right\}
Jest podgrupą grupy G.

Udowadniam że jest.
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\  a & b  \end{array} \right] B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\  c & d  \end{array} \right]

A,B \in H

B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\  - \frac{c}{d}  & \frac{1}{d}  \end{array} \right] \in H


A \cdot B ^{-1} =  \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\  a- \frac{bc}{d}  & \frac{b}{d}  \end{array} \right]  \in H

Podgrupa H ma element przeciwny. Więc może być podgrupą grupy G. Czy to wszystko czy przydało by się jeszcze kilka słów o tym?


No tak, ale nie istnieje element neutralny bo a \not \in  0 czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2015, o 19:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
kamaz08 napisał(a):
B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\  - \frac{c}{d}  & \frac{1}{d}  \end{array} \right] \in H

A co, gdy d=0? Definicja H dopuszcza taką możliwość.


kamaz08 napisał(a):
No tak, ale nie istnieje element neutralny bo a \not \in  0 czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?

Zapis a\notin 0 nie ma sensu. W H jest zawarta macierz jednostkowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2015, o 20:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1202
W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji H wynika, że

\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H,

więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 10:50 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: PL
No d nie może być 0 bo wtedy wyznacznik byłby równy zero, a są to macierze nieosobliwe, czyli wyznacznik musi być różny od 0. Chodziło mi o a \neq 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 11:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Ale b może być zerem i dostajesz macierz, którą wypisał jutrvy. A ona nie należy do G.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 13:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2491
jutrvy napisał(a):
W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji H wynika, że

\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H,

więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O


Możemy, bo definicja H zaczyna się od \{ M \in G : \dots, więc ta macierz z pewnością nie należy do H.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 14:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1202
No doooobra, niech Ci będzie :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 18:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Dlaczego takie proste rzeczy mi umykają... Medea 2, dobrze, że pilnujesz "starszych kolegów". :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2015, o 19:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2491
Odpowiedź jednak się nie zmieni, prawda? Gdyby H miała element neutralny, to byłby on neutralny także dla G. Problem w tym, że warunek a \neq 0 wszystko psuje. O elemencie odwrotnym możemy więc tylko pomarzyć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 co to jest algebra zdarzen  Daniel322  1
 czy struktura jest grupą  Anonymous  1
 Relacja , podgrupa , homomorfiym  Anonymous  11
 czy działanie * jest wewnętrzne?  cycu  5
 Czy podana struktura jest grupą?  reksiak  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl