szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 20 mar 2015, o 00:31 
Użytkownik

Posty: 245
Lokalizacja: Gdańsk
Jak udowodnić, że przestrzenie \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,p} \right) i \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,q} \right) są izomorficzne
\mathbb{K} \in \left\{ \mathbb{R} , \mathbb{C}\right\}

a ||a||_{N,p} = \left( \sum_{n=1}^{N} |a_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}

Nie wiem jakim wzorem zadać ten izomrofizm
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 mar 2015, o 00:39 
Użytkownik

Posty: 7249
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2015, o 22:49 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Kartezjusz napisał(a):
Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?

Serio chcesz tutaj używać twierdzenia Riesza? Jeśli tak, to jak?

Niech 1\leqslant p<q\leqslant \infty. Wówczas

\|x\|_{N,p}\geqslant \|x\|_{N,q}.

Potrzebujemy teraz takiej stałej \delta>0, że

\|x\|_{N,p}\leqslant \delta\|x\|_{N,q}.

Oznaczmy przez r wykładnik sprzężony do q/p. Zastosujmy teraz nierówność Höldera z wykładnikiem q/p do u=(|x_1|^p, \ldots, |x_N|^{p}) i v=(1,\ldots, 1). Mamy

\|x\|_{N,p}^p = \|uv\|_{N, 1} \leqslant \Big(\sum_{k=1}^N |x_k|^q\Big)^{p/q} \cdot N^{1/r}

Stąd

\|x\|_{N,p} \leqslant \|x\|_{N,q} \cdot N^{1/{pr}}.

Stała N^{1/{pr}}, którą tutaj otrzymaliśmy jest optymalna.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2015, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 245
Lokalizacja: Gdańsk
A z jakiego twierdzenia wynika, że równoważność norm pociąga, że przestrzenie są izomorficzne?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2015, o 19:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Wynika to z faktu, że te same ciągi są zbieżne do 0. W zasadzie to wynika to z twierdzenia o trzech ciągach zatem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć średnicę zbioru w podanej przestrzeni  Miroslav  5
 Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta - zadanie 2  max123321  6
 operator mnożenia na przestrzeni L^2(X,\mu)  Mogget  6
 Układ ortonormalny i operator liniowy w przestrzeni Hilberta  Alojzy Pompka  1
 unitarny izomorfizm  kimha  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl