szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lut 2015, o 01:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 77
Lokalizacja: Zabrze
Są wyniki: http://skm.katowice.pl/index.php/wyniki/rejon/2015
Góra
Kobieta
PostNapisane: 23 mar 2015, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Zadanka z finału:

1. Dane są takie liczby rzeczywiste x, y i z, że spełnione są równości
x+y=z+2015 i x^2+y^2=z^2+2015^2.
Wykaż, że liczby x, y i z spełniają też równość
x^3+y^3=z^3+2015^3.

2. Przekątne AC i BD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O. Pola trójkątów ABO, BCO, CDO i DAO są równe odpowiednio S_1, S_2, S_3 i S_4. Wykaż, że jeżeli
\frac{S_1+S_3}{2}=\sqrt{S_2S_4},
to czworokąt ABCD jest trapezem.

3. Rozstrzygnij, czy istnieją liczby całkowite a, b, c, spełniające równanie
a^4+b^4+444=c^4.

4. Liczby x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 są nieujemne, a ich suma jest równa 1. Wykaż, że spełniona jest nierówność
x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_5+x_4x_5x_6+x_5x_6x_1+x_6x_1x_2  \le \frac{1}{27}.

5. Dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach B i C trójkąta ABC przecinają boki AC i AB w punktach odpowiednio B_1 i C_1. Środek okręgu opisanego na trójkącie C_1CB_1 leży na prostej AB. Wyznacz miarę kąta ABC.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 mar 2015, o 22:37 
Moderator

Posty: 2089
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
1.
Jeśli liczby a,b,c,d spełniają równanie a+b=c+d i a^{2}+b^{2} = c^{2}+d^{2}, to zachodzą równości a = d, b = c. Co dowodzi nam od razu równości trzeciej. Dowód tego jest dość prosty, mianowicie podnieść pierwsze równanie stronami do kwadratu i otrzymamy problem, który pojawił się na II etapie OMG.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Konkurs kuratoryjny z matematyki (gimnazjum)- woj. pomorskie  paweltabix  1
 [Łańcut] XXII Konkurs Matematyczny im. Prof. J. Marszała  Uzo  18
 kuratoryjny konkurs - zadania z lat poprzednich....  asia00000  6
 Małopolski Konkurs Matematyczny  mariolka0303  1
 XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei  matma17  95
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl