szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2015, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
Witajcie,

polecenie do zadania brzmi tak: Rozwiń w szereg Laurenta funkcję: f(z)=\frac{z}{z-i} wokół punktu z=1 w pierścieniu |z-1|<\sqrt{2}.

Mamy:

\frac{z}{z-i} = z \frac{1}{z-1-i+1} = \frac{z}{z-1} \frac{1}{1-\frac{i-1}{z-1}}. Teraz teoretycznie drugi składnik powinienem rozwijać korzystając z własności szeregu geometrycznego. Moduł mojego ilorazu wynosi: \left| \frac{i-1}{z-1} \right|=\frac{\sqrt{2}}{|z-1|} i to musi być mniejsze od jedynki. Z drugiej strony w moim pierścieniu mam: \frac{|z-1|}{\sqrt{2}}<1 czyli odwrotność jest większa od jedynki. Zatem nie mogę tego rozwijać szeregiem geometrycznym. Nie mam pomysłu co dalej z tym zrobić. Do rozwiązania zadania trzeba podać pierwsze cztery wyrazy rozwinięcia.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2015, o 13:28 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
No to trzeba podzielić na odwrót:

\frac{1}{z-1-i+1} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-1}{i-1}}.

Teraz \left| \frac{z-1}{i-1} \right| < 1, więc można rozwinąć.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2015, o 17:28 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
Rozumiem. Tylko teraz nurtuje mnie to z w liczniku. Rozwijając w szereg geometryczny mam: \frac{z}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right). Rozwijanie ma być koło jedynki, jedyne co mi przyszło na myśl to: \frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right) i rozbicie pierwszego czynnika na dwa ułamki. Tylko później jak to składam do kupy to nie wychodzi to co powinno. Może ktoś pokazać?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2015, o 18:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
Powinno wyjść.

\frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) = \\[1ex] 
\frac{1}{1-i} \left[ (z-1) \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) + \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right) \right] = \\[2ex]
\frac{1}{i-1} + \frac{i}{(i-1)^2} \cdot (z-1) + \frac{i}{(i-1)^3} \cdot (z-1)^2 + \ldots = \frac{1}{1-i} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i}{(i-1)^{n+1}} \cdot (z-1)^n.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2015, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Warszawa
Super, mi też tak wyszło, tylko musiałem źle wzór końcowy zapisać. Dzięki za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta  F4llenone  2
 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta - zadanie 2  Drzewo18  0
 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta - zadanie 4  inusia146  0
 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta - zadanie 5  marta_53  4
 Rozwijanie f(x)=x^2 w szereg Fouriera.  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl