szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 gru 2014, o 01:01 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: Kielce
a)  \sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} = n2 ^{n-1}\\
b)  \sum_{k=1}^{n} k(k-1) {n \choose k} = n(n-1)2 ^{n-2}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2014, o 01:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18594
Lokalizacja: Cieszyn
Pachnie tu różniczkowaniem. Mamy (x+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k. Różniczkując mamy n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}x^{k-1}. Podstaw tu x=1. Zadanie b) zrób podobnie. Widać tu drugą pochodną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2014, o 03:20 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Można też bez analizy.

Kombinatorycznie: pierwszą tożsamość można zinterpretować jako policzoną na dwa sposoby liczbę sposobów na ile spośród n żyraf można wybrać te które zapiszemy do szkoły baletowej, a wśród nich jednej damy stypendium ministra kultury. W drugiej tożsamości tak samo, tylko oprócz stypendium dla jednej jest jeszcze talon na traktor dla drugiej.

Algebraicznie: wystarczy skorzystać ze wzoru k\binom nk = n \binom{n-1}{k-1} oraz z dwumianu Newtona.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2014, o 10:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18594
Lokalizacja: Cieszyn
Coś trzeba wiedzieć. W Kompendium napisałem parę słów o operatorze różnicowym. Nie odnosi się to bezpośrednio do badanej sumy, ale może się komuś przyda.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić tożsamości - zadanie 2  ziarenko  2
 Udowodnić tożsamości  darlove  1
 Tożsamości kombinatoryczne  karad  1
 Podaj dowody kombinatoryczne następujących tożsamości.  Oleszko12  2
 Udowodnić metodą indukcji mat. - zadanie 2  Kurzu  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl