szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Rzeszów
Zadania z zawodów indywidualnych MEMO 2014.

Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje f:\RR \longrightarrow \RR takie, że dla dowolnych liczb x,y \in \RR zachodzi równość:
xf(y)+f(xf(y))-xf(f(y))-f(xy)=2x+f(y)-f(x+y).

Zadanie 2. Rozważamy podziały n-kątów na n-2 trójkąty n-3 przekątnymi, które nie przecinają się wewnątrz n-kąta. Dwukolorową triangulacją nazwiemy podział n-kąta, w którym trójkąty powstałe wskutek tego podziału pomalowano na biało lub czarno, przy czym dowolne dwa trójkąty mające wspólny bok są pomalowane różnymi kolorami. Liczbę naturalną n \ge 4 nazwiemy triangulowalną, jeśli dla dowolnego n-kąta foremnego istnieje dwukolorowa triangulacja, w której dla dowolnego wierzchołka A liczba czarnych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A, jest większa niż liczba białych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A. Znaleźć wszystkie liczby triangulowalne.

Zadanie 3. Niech I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, w którym AB<AC. Niech E będzie punktem leżącym na odcinku AC, przy czym AE = AB. Niech G będzie punktem leżącym na prostej EI, przy czym \angle IBG=\angle CBA oraz I leży wewnątrz odcinka EG. Wykazać, że prosta AI, prosta prostopadła do AE przechodząca przez punkt E, oraz dwusieczna kąta \angle BGI przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 4. Dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych spełniających warunek n \ge k \ge 0 definiujemy współczynnik bidwumianowy \left( {n\choose k}\right) wzorem:
\left( {n\choose k}\right)= \frac{n!!}{k!!(n-k)!!}.
Znaleźć wszystkie pary n,k liczb całkowitych takich, że n \ge k \ge 0 oraz ich współczynnik bidwumianowy jest liczbą całkowitą.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 19:34 
Użytkownik
1) Podstawiając x=1 otrzymujemy
f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).

Jeżeli jakakolwiek funkcja spełnia równanie f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) to f\equiv 0 ale funkcja zerowa nie spełnia drugiego równania. Więc wnioskujemy, że taka funkcja nie istnieje.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 867
E tam zadania. Opowiadajcie jak poszło.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Rzeszów
Sorry, źle napisałem. Już poprawiam. A wyniki:
Trela, Klukowski, Paluszek, Kobak - 3 zadania
Frejlak, Głodkowski - 2 zadania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 20:23 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2218
Lokalizacja: Warszawa
kicaj napisał(a):
1) Podstawiając x=1 otrzymujemy
f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).

Niezupełnie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 wrz 2014, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Rzeszów
Ponewor napisał(a):
kicaj napisał(a):
1) Podstawiając x=1 otrzymujemy
f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).

Niezupełnie.

Ale wcześniej napisałem złą treść.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 wrz 2014, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 392
Lokalizacja: Bonn
3
Ukryta treść:    

Strasznie to proste jak na MEMO.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 wrz 2014, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
2. Arthur Engel - Problem-Solving Strategies, zad. 90., s. 339. Jeśli ktoś zna to zadanie, to musi tylko pokaząć prostą konstrukcję na koniec. Na MEMO nie powinny pojawiać się problemy pochodzące z tak znanych źródeł...

EDIT:
1.:    
3.:    
4.:    
Podsumowanie:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 wrz 2014, o 16:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1873
Lokalizacja: Warszawa
Wszystkie zadanka są tutaj:
http://memo2014.de/index.php/competition/problems-2014
Nie da się ukryć, że zadania I2, I3, I4 raczej nie trzymają poziomu MEMO, a I1 oczywiście musiało być standardowo syfiaste równanie funkcyjne : /. Z drużynówki standardowo zadanka z nieparzystymi numerami niezbyt trudne, T4 też łatwe, nadzieja pozostaje w T2, T6 i T8 :P.
Raczej nie mam żadnych wątpliwości, że zadania z pierwszego etapu aktualnego OMa są trudniejsze :P.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 wrz 2014, o 17:18 
Użytkownik

Posty: 255
Nie mam wymienionej książki Arthura Engela, ale nie wydaje mi się, żeby 2. było trudne:

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 wrz 2014, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
2. pojawiło się kiedyś na meczu na pewnych warsztatach, w których uczestniczyłem, i żadna drużyna go wtedy nie zrobiła, więc uznałem, że może jednak coś trudnego w nim jest. :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 867
Wyniki jakieś są?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Rzeszów
Oficjalne wyniki polaków to:
Paluszek, Trela, Klukowski, Głodkowski - srebro
Kobak, Frejlak - brąz
Drużynowo złoto całe wyniki tutaj http://memo2014.de/index.php/competition/results-2014
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 wrz 2014, o 23:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1873
Lokalizacja: Warszawa
Gratulacje za złoto w drużynówce! Gratki za T6, całkiem harde, ja do tej pory nie umiem :P.
Zastanawia mnie fakt, czemu Polacy rokrocznie wygrywają drużynówkę (jedyny wyjątek - moje pierwsze MEMO), pomimo tego, że praktycznie nigdy nie wygrywają sumarycznej indywidualnej klasyfikacji (jedyny wyjątek - pierwsze w ogóle oraz moje drugie MEMO) zazwyczaj dostając srogie lanie od Węgrów :P.
Tutaj można sobie poprzeglądać fajne statystyki: http://skmo.sk/poradia.php?sutaz=_MEMO
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 III MEMO  Dumel  13
 Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93  Logoandre  2
 IV MEMO  Swistak  16
 [IMO 2012] Zadania  kalmar  5
 EGMO 2013 - zadania  Msciwoj  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl