szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 20 maja 2007, o 22:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Prosiłbym o pomoc w zbadaniu zbieżności dwóch szeregów:
a)
\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{n+2}{2n^{3}-1}
b)
\sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{1}{n}cos\frac{1}{n}

Przykład b) doprowadziłem do postaci:
\frac{1}{2} \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{2}{n}
ale dalej nie wiem, jak to ruszyć :-|
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 maja 2007, o 22:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
a) zbieżny - porównaj poprzez kryterium ilorazowe ze zbieżnym \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
b) rozbieżny - kryterium ilorazowe z rozbieżnym \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{n}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 maja 2007, o 16:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
hmm... nie znałem kryterium ilorazowego, ale teraz już znam :) dzięki
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 maja 2007, o 18:13 
Gość Specjalny

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Jak na moje krzywe oko, to i z porównawczego pójdzie, przez porównanie do wskazanych przez Maxa szeregów.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 maja 2007, o 19:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Pierwsze przez bezpośrednie porównanie rzeczywiście wyjdzie, ale drugie już niekoniecznie, bowiem \sin x < x, \ \mbox{dla} \ x > 0. Trzeba by wymnożyć szereg harmoniczny przez jakąś stałą c \in (0, \tfrac{1}{2}) i wyjaśnić, że dla dostatecznie dużych n będzie zachodzić
\frac{\sin \frac{2}{n}}{2} > \frac{2c}{n},
gdyż
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2cx} = \frac{1}{2c} > 1
co w zasadzie niewiele różni się od zastosowania kryterium ilorazowego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadać zbieżność szeregu  Undre  1
 zbadac zbieznosc szeregu  jjacks  5
 Zbadać zbieżność szeregu - zadanie 2  =  3
 Zbadać zbieżność szeregu - zadanie 4  `vekan  3
 Zbadać zbieżność szeregu - zadanie 5  Night  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl