szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 31 maja 2014, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Jedlicze
Dostałem do rozwiązania 4 zadania z zakresu funkcji holomorficznych i równania C-R. Z trzema poradziłem zostało mi do zrobienia, to które prezentuję poniżej. Nie wiem jak się za to zabrać.

Niech:
u(x,y) = x^{2} - y^{2}
Czy funkcja u jest częścią rzeczywistą funkcji holomorficznej? Jeśli tak, to znaleźć tę funkcję. Narysować po (po cztery - np. dla 1, -1, 2, -2) poziomice części rzeczywistej i części urojonej tej funkcji.

Bardzo proszę o pomoc. Dzięki z góry!!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 cze 2014, o 08:30 
Gość Specjalny

Posty: 5971
Lokalizacja: Toruń
W czym masz problem? Na szukanie odpowiedniej części urojonej mamy gotowy algorytm.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 cze 2014, o 11:13 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Jedlicze
Mógłbyś mnie wspomóc, podając ten algorytm?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 cze 2014, o 12:17 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8449
Lokalizacja: Wrocław
Najłatwiej zgadnąć, że

x^2 - y^2 = \Re ( x^2 - y^2 + 2 x y \mathrm i ) = \Re z^2.

W sytuacji, kiedy zgadnąć jest trudno, szuka się tak:

Jeśli funkcja u(x, y) ma być częścią rzeczywistą pewnej funkcji holomorficznej f(x, y) = u(x, y) + \mathrm i v(x, y), to muszą zachodzić równania Cauchy'ego-Riemanna:

\begin{cases} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{cases}.

Stąd otrzymujemy układ równań na v:

\begin{cases} v_y(x, y) = 2x \\ v_x(x, y) = 2y \end{cases}.

Z pierwszego równania wynika, że

v(x, y) - v(x, 0) = \int \limits_0^y v_y(x, t) \, \dd t = \int \limits_0^y 2x \, \dd t = 2xy dla dowolnych x, y \in \RR,

czyli

v(x, y) = 2xy + \varphi(x), gdzie \varphi(x) = v(x, 0).

Z drugiego równania otrzymujemy

2y + \varphi'(x) = \frac{\partial}{\partial x} (2xy + \varphi(x)) = v_x(x, y) = 2y,

zatem \varphi'(x) = 0 dla każdego x \in \RR. Stąd \varphi jest stała, czyli

v(x, y) = 2xy + c.

I w istocie, dla dowolnej stałej c \in \RR funkcja

f(x, y) = x^2 - y^2 + \mathrm i (2xy+c) = z^2 + \mathrm i c

jest funkcją holomorficzną o części rzeczywistej równej x^2 - y^2.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Jakie są dowody na nieistnienie zer funkcji dzeta?  seiwopurk 1  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl