szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Łódź
Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów:
Jeżeli f : \left[  n_{0};+ \infty  \right]  \rightarrow \left[ 0;+ \infty \right] jest malejąca i ciągła to:
\int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x jest zbieżna \Leftrightarrow  \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n) jest zbieżny.

Chciałem udowodnić implikację w jedną stronę:
\int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x jest zbieżna \Rightarrow  \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n) jest zbieżny.
Miałem pomysł taki ,że jeśli ta funkcja byłaby całkowalna w sensie Riemanna
to można by przy podziale będącym kolejnymi liczbami naturalnymi
pokazać że \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n) (n+1-n) jest ograniczony
przez sumę górną i dolną dla tego podziału.
A one z kolei są ograniczone ,bo całka jest zbieżna z założenia.
Ale to tylko pomysł ,który wcale nie musi być poprawny.

Liczę na odpowiedź.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 20:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
to jest dobry pomysł - suma \sum_{n_0}^k f(n) jest przy podanych założeniach odnośnie do funkcji f sumą odpowiadającą pewnemu podziałowi przedziału [n_0, k]. czyli jest większa od całki, co raczej nadawałoby się do dowodu w drugą stronę. czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Łódź
klaustrofob napisał(a):
czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?

W głowie.
Ale nie dałoby się udowodnić, że ta funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna?
I czy wtedy mój dowód implikacji byłby poprawny?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 21:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
ale nie ma czegoś takiego jak całkowalność w sensie Riemanna na przedziale nieskończonym. całka R zawsze określona jest na przedziale skończonym - całkę niewłaściwą rozumiemy jako granicę całek po coraz dłuższych przedziałach. czyli i tak dowód powinien iść jakoś przez rozważanie całek na przedziałach skończonych - odpowiadałyby im sumy częściowe szeregu.
nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Łódź
klaustrofob napisał(a):
nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?

Mi chodzi o to ,że szereg ten jest ograniczony przez sumę górną i sumę dolną dla podziału, będącego kolejnymi liczbami naturalnymi.
I mamy założenie że całka jest zbieżna ,więc kombinowałem że te sumy dla tego podziału też muszą być zbieżne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 21:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Łódź
klaustrofob napisał(a):
a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.

Widzę ,że różnica pola pod wykresem dla funkcji i suma tego szeregu różnią się od siebie o skończoną wartość. Jeśli jedno jest zbieżne to drugie też, ale nie wiem jak to udowodnić.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2014, o 22:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
szereg możesz potraktować jako funkcję schodkową, stałą między kolejnymi liczbami naturalnymi. wtedy są to schodki nad/pod wykresem, zależy jak pokombinujesz. jeżeli masz schodki pod wykresem, to całka jest większa, a to pokazuje, że sumy częściowe szeregu o wyrazach dodatnich są ograniczone z góry (przy założeniu zbieżności całki)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie zbieżności  ony_ony  4
 Badanie żbieżności całek  toppix  7
 twierdzenie całkowe o residuach  gtr7  1
 Kryterium porównawcze - zadanie 17  gosia19  1
 Całkowe problemy cd.  brandonmarlon  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl