szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 16:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2394
Lokalizacja: Katowice
Wyznacz sumę szeregu:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n-1}\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}

Miłej zabawy!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 20:39 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
Ok, chyba mam, choć trochę ścisłości brakuje ;-).

Rozwiązanie:    


PS:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 20:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2394
Lokalizacja: Katowice
Ładnie, gratulacje :D.

PS Do tej samej całki doszedłem i dała się wyznaczyć :).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 20:53 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
JakimPL, o, chętnie bym zobaczył jak ją policzyłeś :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 21:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2394
Lokalizacja: Katowice
Będzie nieco przekombinowane, ale niech już tak zostanie :).

Przyjmijmy, że znamy rozwinięcia w szereg funkcji \arcsin^2 x, logarytmu oraz umiemy wyznaczyć poniższą całkę:

\int\limits_0^1\left(1-x^2\right)^{n}\mbox{d}x=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}

Korzystając z definicji \textrm{artanh}\, x =\int\limits_0^t \frac{\mbox{d}t}{1-t^2} oraz zmieniając granice całkowania, mamy:

\int\limits_0^1\frac{t\,\textrm{artanh}\, t}{1+t^2}\mbox{d}t=\int\limits_0^1\int\limits_0^t\frac{t\mbox{d}s\,\mbox{d}t}{\left(1+t^2\right)\left(1-s^2\right)}=\int\limits_0^1\int\limits_s^1\frac{t\mbox{d}t\,\mbox{d}s}{\left(1+t^2\right)\left(1-s^2\right)}=\int\limits_0^1\frac{\ln\left(\frac{1+x^2}{2}\right)}{2\left(x^2-1\right)}\mbox{d}x

(Co ciekawe, można od razu dojść do tej postaci, uprzednio zmieniając kolejności sumowania wyjściowego szeregu.) Rozwijając logarytm w x=1, uzyskujemy:

\ln \left(\frac{1+x^2}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1-x^2\right)^n}{n 2^n}

Całkując wyraz po wyrazie:

\int\limits_0^1\frac{\ln\left(\frac{1+x^2}{2}\right)}{2\left(x^2-1\right)}\mbox{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\frac{1}{1-x^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(1-x^2\right)^n}{n 2^n}\mbox{d}x=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n 2^{n}}\int\limits_0^1 \left(1-x^2\right)^{n-1}\mbox{d}x

Korzystając z wyznaczonej uprzednio całki:

\int\limits_0^1\frac{\ln\left(\frac{1+x^2}{2}\right)}{2\left(x^2-1\right)}\mbox{d}x=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n 2^{n}}\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}

co odpowiada rozwinięciu \displaystyle\arcsin^2 \frac{x}{\sqrt{2}} w szereg Maclaurina z x=1. Zatem:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n-1}\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\int\limits_0^1\frac{\ln\left(\frac{1+x^2}{2}\right)}{2\left(x^2-1\right)}\mbox{d}x=\frac{1}{2}\arcsin^2 \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi^2}{32}

Można też bezczelnie rozbić na składowe zespolone, w wynikowej (paskudnej) całce nieoznaczonej wystąpią niemiłe \textrm{Li}_2(u) - mało eleganckie, ale skuteczne.

PS Możesz śmiało podesłać swoje rozwiązanie AMM, na ich stronie znajdziesz odpowiedni mail :).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Analiza] Granica - zadanie 126  przemk20  3
 [Analiza] Zabójcza granica  mol_ksiazkowy  8
 [Analiza] Granica z symbolem Newtona  dr_wektor  3
 [Analiza] Wykazanie granicy - zadanie 2  rochaj  3
 [Analiza] Trochę o funkcji dzeta Riemanna  Marcinek665  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl