szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2014, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 1931
Lokalizacja: Warszawa
Myślę, że można by ten temat podpiąć, albo coś w tym stylu.

1. Prawo Coulomba:

\vec{F}\left( \vec{r}\right)= \frac{1}{4\pi\ \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot  \frac{Qq}{r^2}  \cdot  \frac{\vec{r}}{r}

Opisuje ono oddziaływanie elektrostatyczne pomiędzy dwoma ładunkami elektrycznymi. Oczywiście jednostką siły jest Newton.

\varepsilon_0 \approx  \frac{1}{4 \cdot 9 \pi }  \frac{F}{m} - przenikalność elektryczna próżni.

\varepsilon_r - względna przenikalność elektryczna, w próżni równa 1 (i tak przyjmuję w dalszej części).

2. Natężenie pola od pojedynczego ładunku w odległości r od ładunku:

\vec{E}\left( \vec{r}\right)= \frac{\vec{F}\left( \vec{r}\right)}{q}= \frac{1}{4\pi\ \varepsilon_0} \cdot  \frac{Q}{r^2}  \cdot  \frac{\vec{r}}{r}

Natężenie mówi nam o sile działającej na jednostkowy ładunek próbny (dodatni). Jednostką jest Newton na Coulomb.

3. Praca potrzebna na przeniesienie ładunku z punktu A do punktu B:

W_{A \rightarrow B}= \int_{A}^{B}\vec{F}\vec{dr}= \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left(  \frac{1}{r_A}- \frac{1}{r_B}  \right)=E_{pA}-E_{pB}

Jednostką jest oczywiście Joul.

4. Energia potencjalna w punkcie (czyli inaczej praca, jaką trzeba wykonać, aby przenieść ładunek od A do \infty):

E_{pA}=W_{A \rightarrow  \infty }=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left( \frac{1}{r_A}- \frac{1}{ \infty } \right)=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0} \cdot  \frac{1}{r_A}

5. Potencjał pola elektrostatycznego (oznaczenia: \varphi, U, V):

\varphi\left( \vec{r}\right) = \frac{E_P}{q}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot  \frac{1}{r}

Potencjał jest funkcją skalarną i potencjał pochodzący od kilku ładunków jest algebraiczną sumą potencjałów pochodzących od kilku ładunków. Pole ma w danym punkcie potencjał 1 Volta, jeśli przenosząc z tego punktu do nieskończoności ładunek 1 Coulomba wykona pracę 1 Joula. Z kolei między 2 punktami pola panuje napięcie 1 Volta, jeśli praca przeniesienia z 1 punktu do 2-ego wynosi 1 Joul.

6. Napięcie, czyli różnica potencjałów:

U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B

7. Ale praca jest równa:

W_{A \rightarrow B}=q\left( \varphi_A-\varphi_B\right)=qU_{AB}

8. Gęstość objętościowa (mamy obiekt o danej objętości oraz gęstość objętościową):

Q=\varrho \cdot V

dQ=\varrho \cdot dV

9. Gęstość powierzchniowa (mamy daną powierzchnię oraz gęstość powierzchniową):

Q=\sigma \cdot S

dQ=\sigma \cdot dS

10. Gęstość liniowa (mamy dany odcinek oraz gęstość liniową):

Q=\lambda l

dQ=\lambda dl

11. Związek między natężeniem pola i potencjałem:

d\varphi = - \vec{E}\vec{dr}=-\left( E_x \imbox{dx}+E_y \imbox{dy}+E_z \imbox{dz}\right)

Komentarz: minus mówi nam o kierunku pola. Konwencja jest od + do -.

Postać całkowa powyższego wyrażenia:

U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=- \int_{\vec{r_b}}^{\vec{r_a}}\vec{E}\vec{dr}

Postać różniczkowa:

\vec{E}\left( x,y,z\right)=-\imbox{grad}\varphi\left( x,y,z\right)=-\nabla\varphi\left( x,y,z\right)

12. \nabla, zwany dalej nablą jest to konwencja notacyjna ułatwiająca opis między innymi gradientu:

\nabla = \imbox{grad} =  \frac{\partial }{\partial x} + \frac{\partial }{\partial y} + \frac{\partial }{\partial z}

Czyli przykładowo, miejmy taką funkcję daną wzorem F\left( x,y,z\right) =x+y^2+z^3

To wtedy \imbox{grad}F\left( x,y,z\right) jest równy:

\nabla F=\frac{\partial F\left( x,y,z\right)}{\partial x} + \frac{\partial F\left( x,y,z\right) }{\partial y} + \frac{\partial  F\left( x,y,z\right)}{\partial z}=\begin{bmatrix} F_x, \ F_y, \ F_z \end{bmatrix}= \frac{\partial \left( x+y^2+z^3\right) }{\partial x} + \frac{\partial \left( x+y^2+z^3\right) }{\partial y} + \frac{\partial \left( x+y^2+z^3\right) }{\partial z}=1 \cdot \vec{i}+\left( 2y\right) \vec{j}+\left( 3z^2\right) \vec{k}=\begin{bmatrix} 1, \ 2y, \ 3z^2\end{bmatrix}

I jak już łatwo zauważyć, gradient mówi nam o tym, jaka siła działa w danym kierunku (x lub y lub z). Lub bardziej formalnie, gradient to kierunek największego spadku/wzrostu pola. Warto zauważyć, że grad działa na funkcję skalarną.

13. Rotacja funkcji wektorowej:
Miejmy funkcję wektorową, tj. \vec{f}=\begin{bmatrix} f_x, \ f_y, \ f_z \end{bmatrix}.
O czym mówi rotacja (lub inaczej mówiąc wirowość)?
Rotacja to z fizycznego punktu widzenia zdolność do "kręcenia" - jak wrzucisz patyk do strumienia, to jeśli jest wir to go obkręci, jak nie to nie - co jest dosyć logiczne. Rotację funkcji wektorowej zapisujemy jako:

\imbox{rot}\vec{f}=\nabla \times \vec{f}

Czasami można się w angielskiej literaturze (lub starszej polskiej) spotkać z określeniem "curl" zamiast "rot" - po angielsku znaczy to "kędzior". Zauważ, że rot działa na funkcję wektorową.
Rotacja definiowana jest jako:

rot\vec{f}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix}=\left(  \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right)\vec{i}+\left(  \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right)\vec{j} +\left(  \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right)\vec{k}

Najłatwiejszym sposobem (wg mnie) do zapamiętanie kolejności wykonywania działań jest narysowanie sobie takich 3 rysunków: 1 strzałka - pierwszy składnik, 2 strzałka - drugi składnik (ten, który się odejmuje):

Obrazek

Przykład:
Niech funkcja wektorowa \vec{f} będzie określona następująco: \vec{f}=\begin{bmatrix} -y, \ x, \ 0 \end{bmatrix}. Wtedy rotacja będzie wynosić

\imbox{rot}\vec{f}=\left(  \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z} \right)\vec{i}+\left(  \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x} \right)\vec{j} +\left(  \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right)\vec{k}=0\vec{i}+0\vec{j}+2\vec{k}=\begin{bmatrix} 0, \ 0, \ 2 \end{bmatrix}

Wynik można zinterpretować następująco:
Pierwsze dwie współrzędne, równe zero mówią nam o tym, że ruch odbywa się wyłącznie wzdłuż osi OZ (tj. możemy sobie wyobrazić, że to jest właśnie wir). Znak mówi nam o tym, że "skręt" tego wiru jest w lewą stronę (przyjmujemy konwencję, że kierunek przeciwny do wskazówek zegara jest "zgodny"):

Obrazek

a wartość liczbowa trzeciej współrzędnej mówi nam o "wirowości", czyli np. w rzecze byłaby to szybkość tego wiru.

Warto nadmienić, że jeśli siła jest zachowawcza, to rotacja wynosi 0. Analogicznie jest z polami. Jak wiadomo, pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym - stąd ważny wniosek, że jest ono bezwirowe. I równanie z tego wynikające:

\imbox{rot}\vec{E}\left( x,y,z\right)=0

14. Kolejnym ciekawym pojęciem jest dywergencja, lub inaczej mówiąc "źródłowość". Załóżmy, że mamy funkcję wektorową \vec{f}=\begin{bmatrix} f_x, \ f_y, \ f_z \end{bmatrix}
Dywergencja jest zdefiniowana w ten sposób:

div\vec{f}\left( x,y,z\right)=\nabla\vec{f}=\frac{\partial f_x }{\partial x} + \frac{\partial f_y }{\partial y} + \frac{\partial f_z }{\partial z}

Warto zauważyć, że dywergencja to jest po prostu jakaś wartość liczbowa (może być wartością dodatnią - "linie wychodzą" ze źródła, zerową - linie przechodzą przez ten obszar, ale nie "wchodzą" lub "wychodzą" lub ujemną - linie "wchodzą" do obszaru (tj. "zlew")).
Dywergencję nazywa się źródłowością, ponieważ jest to skalar mówiący o "intensywności" źródła. Czyli na przykład jeśli będziemy liczyć dywergencję obszaru np. kranu, to oczywiście wyjdzie nam wartość dodatnia (czyli kran jest źródłem, które "wypluwa" jakąś masę), a jej wartość będzie mówić nam o masie wody wypływającej w jednostce czasu. Innym sposobem na wyobrażenie sobie dywergencji może być coś takiego:
Miejmy jakieś źródło natężenia - niech to będzie kula o objętości V. Z każdego punktu \dS sfery wychodzi natężenie dE. Lecz jeśli zaczniemy tę kulę ściskać, tj. \lim V \rightarrow 0 (a więc stanie się ona punktem materialnym) to wtedy możemy się dowiedzieć o "intensywności źródła".

Przykład:
Miejmy funkcję \vec{f}=\begin{bmatrix} -y, \ x, \ z \end{bmatrix}. Wtedy

\imbox{div}\vec{f}=\frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}=0+0+1=1

15. Znając te pojęcia możemy przejść do twierdzenia Stokesa (twierdzenie o rotacji). Owe twierdzenie wiąże całkę liniową z całką powierzchniową - mówi o tym, że cyrkulacja wektora \vec{F} po konturze C jest równe strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię S, gdzie C - zamknięta krzywa, S - dowolna przestrzeń ograniczona przez C. Wzór:

\oint_{C}\vec{F} \cdot {dr}=\iint_S\left( \nabla \times \vec{F}\right) \cdot \vec{dS}

16. Twierdzeniem wiążącą całkę powierzchniową z objętościową jest twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego. Jego treść mówi o tym, że tym większy jest strumień pola K przez powierzchnię zamkniętą A, im większa jest wydajność (dywergencja) źródeł pola K, zawartych w objętości V ograniczonej krzywą A, czyli na przykład wsadzamy wąż z wodą w sito, i im większa masa wody wyjdzie z węża w ciągu jednostki czasu (czyli im większa jest dywergencja), tym silniejszy jest strumień wody płynący przez dziura w sicie. Wzór:

\oint_{A}\vec{K} \cdot \vec{dA}=\int_V \imbox{div} \vec{k} \cdot \vec{dV}

17. Kolejnym podstawowym prawem w dziale elektrostatyki jest prawo Gaussa. Mówi ono o tym, że całkowity strumień, który przenika przez zamkniętą powierzchnię obejmującą ładunek Q jest zawsze równy \frac{Q}{\varepsilon_0} niezależnie od kształtu powierzchni. Lub mówiąc bardziej formalnie, strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest sumie ładunków obejmowanych przez tę powierzchnię podzielonej przez \varepsilon_0. Należy jeszcze wprowadzić pojęcie strumienia pola (w tym przypadku natężenia pola elektrycznego):

\Phi_E=\int_S\vec{E}\vec{dS}

Strumień pola opisuje pole wektorowe oraz jego źródłowość. Szczególnie ważnym pojęciem jest strumień przechodzący przez powierzchnię zamkniętą (i jest to jednocześnie prawo Gaussa w ujęciu całkowym):

\Phi_E=\oint_S \vec{E}\vec{dS} =  \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \varrho dV=  \frac{Q}{\varepsilon_0}

gdzie Q=V \cdot \varrho to całkowity ładunek znajdujący się wewnątrz powierzchni S. W tym momencie warto zauważyć następującą rzecz:

\varepsilon_0 \cdot \oint\vec{E}\vec{dS}=q_{wew}

Jeśli jako powierzchnię Gaussa wybierzemy powierzchnię sferyczną, to widać, że E ma stałą wartość na całej powierzchni sferycznej (tj. niezależnie od odległości od q). Natężenie możemy wyłączyć przed znak całki. Kąt pomiędzy \vec{E} i \vec{dS} jest równy zeru, więc można pominąć znaki wektora:

\varepsilon_0 E \cdot \oint dS=q

Podstawiając wzór na sferę otrzymujemy:

\varepsilon_0 E \cdot 4\pi r^2=q

czyli

E=  \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}  \cdot \frac{q}{r^2}

Więc otrzymaliśmy dokładnie natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego, które można otrzymać również z prawa Coulomba (1.). Stąd wniosek, że prawo Gaussa jest równoważne prawu Coulomba.

Różniczkowa postać prawa Gaussa wygląda następująco:

\imbox{div}\vec{E}\left( x,y,z\right)= \frac{\varrho\left( x,y,z\right) }{\varepsilon_0}

gdzie \varrho jest to gęstość przestrzenna ładunku, zależna od (x,y,z)

18. Natężenie pola pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego
Natężenie pola pochodzące od płaskiej, nieskończonej powierzchni naładowane jest gęstością \sigma= \frac{Q}{S}.

Obrazek

Jak widać z rysunku, dQ=\sigma \cdot dS. Ale

d\Phi=E_+dS+E_+dS=2E_+dS

Zgodnie z prawem Gaussa, to jest równe:

2E_+dS= \frac{Q}{\varepsilon_0}

2E_+dS= \frac{\sigma dS}{\varepsilon_0}

Stąd natężenie pola pochodzące od jednej nieskończonej płaskiej powierzchni jest równe

E_+= \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

Natężenie między płytami:

Obrazek

Jak widać z powyższego rysunku, natężenia od płytki naładowanej dodatnio oraz płytki naładowanej ujemnie dodają się (a poza płytkami redukują). Bardzo łatwo to wytłumaczyć - plus przyciąga minusa, oraz minus przyciąga plusa. Tak więc wzór końcowy to:

E=E_++E_-= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

19. Związek pomiędzy natężeniem i potencjałem
Przyłóżmy napięcie U do płytek A (niech to będzie ta dodatnio naładowana) i B (niech to będzie ta ujemnie naładowana) - płytki znajdują się w odległości d od siebie. Wtedy praca jaką się wykona przenosząc ładunek od od płytki A do płytki B będzie równa:

W_{A \rightarrow B}=Fd

Ale zgodnie z (2.) F=qE, stąd

W_{A \rightarrow B}=qEd

Przyrównując to do (7.) otrzymujemy:

E= \frac{U_{AB}}{d}

Natężenie pola jest to spad napięcia na pewnej drodze (gradient potencjału) :

E= \frac{U_{AB}}{d} \stackrel {d=\Delta x}{=} \frac{V_A-V_B}{\Delta x}=- \frac{V_B-V_A}{\Delta x}= - \frac{\Delta V}{\Delta x}

Więc w ogólności można zapisać:

\vec{E}=-\left(  \frac{\partial V}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial V}{\partial z}\vec{k}\right) =-gradV

Co się pokrywa z (11.).

20. Pojemność elektryczna
Pojemność elektryczna jest to zdolność gromadzenia ładunku przy danym potencjale. Jednostką pojemności jest Farad.

C= \frac{Q}{U}

Pojemność kuli odosobnionej:

V= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R}  \Rightarrow Q=V  \cdot \underbrace{4\pi \varepsilon_0 R}}_{C}

C=4\pi \varepsilon_0 R

Pojemność kondensatora płaskiego:

Q=CU

Ale zgodnie z (9.) oraz (19.)

\sigma S=CEd

Korzystając z (18.) otrzymujemy:

\sigma S = C  \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d  \Rightarrow  C= \varepsilon_0 \frac{S}{d}

W tym miejscu warto jeszcze przypomnieć zasadę zachowania ładunku. Brzmi ona tak:
"W układzie izolowanym od otoczenia algebraiczna suma wszystkich ładunków jest wielkością stałą."

21. Energia elektryczna pola
Niech \Deta x oznacza jakąś odległość pomiędzy płytką naładowaną ujemnie, a płytką naładowaną dodatnie (patrz 2 rysunek z (18.). S będzie oznaczać powierzchnię płytek, a \sigma_- i \sigma_+ będą oznaczać gęstość powierzchniową ładunku na płytkach. Pomiędzy płytkami jest natężenie E. Wtedy praca potrzebna na przeniesienie ładunku ujemnego na odległość \Delta x będzie równa:

\Delta W=F \Delta x = Q_- \cdot  E_+ \cdot  \Delta x

Wstawiając do równania (9. i 18. - od jednej płytki!) otrzymujemy:

\Delta W = \sigma S \cdot   \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot  \Delta x= \frac{\sigma ^2}{2\varepsilon_0} \cdot \Delta x

Ale E= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

\Delta W =  \frac{E^2 \varepsilon^2_0}{2 \varepsilon_0}  \cdot S \Delta x =  \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \cdot S \Delta x

Stąd:

\omega= \frac{\Delta W}{S \Delta x}= \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}

Gdzie \omega to jest gęstość energii elektrostatycznej.

22. Energia kondensatora

Podłączmy napięcie U do płytek o powierzchni S oddalonych od siebie o odległość d. Wtedy za pomocą prostych przekształceń dostaniemy wzór na energię kondensatora. Zgodnie z (20.):

\omega=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}

Ale mnożąc gęstość energii przez objętością dostaniemy energię (oznaczam tu ją jako E_E):

E_E=\omega \cdot Sd = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \cdot Sd

Ale zgodnie z (19.) E= \frac{U}{d}

E_E= \frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2d}= \frac{\left( \varepsilon_0  \cdot  \frac{S}{d} \right) U^2}{2}

I zgodnie z (20.)

E_E= \frac{CU^2}{2}

W razie błędów proszę pisać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2014, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 678
Lokalizacja: Toronto
to wszystko już było...choćby w książkach januszaitisa i wielu..stronach www
ale chwała ci za to, że chciało sie to przepisac
nie czytałem wszystkiego ale poraziła mnie nazwa jednost energii, nie Joule tylko dżul-popraw
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2014, o 00:52 
Użytkownik

Posty: 1931
Lokalizacja: Warszawa
daras170, właściwie moją intencją było napisanie Joule (nie napisałem ostatniej literki "e" w tych jednostkach ;/), ale w sumie to prawda, że lepiej byłoby dać dżula. Tak czy siak, posta zmienić już nie mogę -> trzeba będzie do jakiegoś moderatora napisać. Oczywiście, że to wszystko już było... ale dobrze jest mieć wszystkie najważniejsze informacje z danego działu zebrane do kupy. Ale na przykład rotacja czy dywergencja.. w większości książek/na wykładach to jest tłumaczone fatalne dla kogoś, kto to widzi pierwszy raz.. a tu napisałem strasznie przystępnie, wg mnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadania z zakresu elektrostatyki na poziomie technikalnym  Garguu  1
 pytania z elektrostatyki - zadanie 2  ania0  1
 zadanie z grawitacji9 i elektrostatyki pomocy....  screeamer  1
 Zadania z elektrostatyki - zadanie 3  kundus  4
 Sprawdzian z elektrostatyki.  kamilkassan  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl