szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lut 2014, o 11:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
Co roku w drugiej połowie lutego odbywa się w Mohylewie (na Białorusi) konkurs matematyczny da studentów i doktorantów(!). Do rozwiązania jest 30 zadań. Oceniane są tylko wyniki. Każde zadanie otrzymuje wagę, która jest równa odwrotności liczby uczestników, którzy podali prawidłową odpowiedź. Dalej zamieszczam zadania z tego roku (w trzech kolejnych postach).
BTW, wygrał w tym roku doktorant z Sankt Petersburga, który całą resztę uczestników pozostawił za sobą w tyle. Polacy zdobyli dwa medale, srebrny i brązowy.

sG

-- 25 lutego 2014, 11:04 --

zad.1 Ile razy w ciągu 24h kąt między wskazówkami godzinową i minutową równy będzie 38^\circ ?

zad.2 Treser dzikich zwierząt ma wprowadzić na arenę cyrku 5 lwów i 4 tygrysy tak, aby żadne dwa tygrysy nie szły jeden tuż po drugim. Na ile sposobów może to uczynić?
UWAGA: na sali padła podpowiedź, że zwierzęta mają imiona, które zna tylko treser.

zad.3 Na płaszczyźnie dany jest 17-kąt foremny A_1A_2\dots A_{17}. Ile można utworzyć trójkątów rozwartokątnych A_iA_jA_k ?

zad.4 Dla każdej pary liczb całkowitych (x,y), spełniających równanie (x^2+y^2)(x-2y+15)=2xy, oblicz sumę x\!+\!y. W odpowiedzi podaj największą możliwą sumę.

zad.5 Znajdź sumę pierwiastków równania 1-|x+1|=\frac{[x]-1}{|x-1|}, gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą x.

-- 25 lutego 2014, 11:23 --

zad.6 Pierwsze 2014 liczby naturalne (począwszy od 1) zapisano kolejno na okręgu. Następnie wykreślano co drugą liczbę (tj. wykreślono: 2,4,6,...), aż pozostała jedna liczba. Co to za liczba?

zad.7 O funkcji f określonej na liczbach naturalnych wiadomo, że f(n)\neq f(m) jeśli |n-m| jest liczbą pierwszą. Jaka jest najmniejsza liczba wartości tej funkcji (tj. najmniejsza moc zbioru wartości)?

zad.8 Czerwone i zielone punkty zaznaczono na prostej, przy czym przynajmniej po jednym punkcie każdego koloru, tak, że punkty, pomiędzy którymi jest dokładnie 10 lub 15 punktów, są tego samego koloru. Ile najwięcej punktów można w ten sposób zaznaczyć?

zad.9 W trapezie ABCD podstawy są równe AD=30, BC=20, a ramiona AB=6, CD=8. Znajdź promień okręgu przechodzącego przez punkty A i B, i stycznego do prostej zawierającej bok CD.

zad.10 W stożek o promieniu podstawy 1 i wysokości 3 wpisano sześcian tak, że jego podstawa zawiera się w podstawie stożka, a pozostałe cztery wierzchołki leżą na powierzchni bocznej. Oblicz długość boku sześcianu.

-- 25 lutego 2014, 11:40 --

zad.11 W środku trójkąta równobocznego o boku 1 stoi ul. Jeden z boków trójkąta pokryty jest miodem, drugi dżemem, a trzeci posypany cukrem. Znajdź długość najkrótszej drogi, którą musi pokonać pszczoła, która wylatuje z ula, próbuje miodu, dżemu i cukru, a następnie wraca do ula.

zad.12 Z trzech punktów oddalonych od podstawy wieży o 36m, 72m i 108m widać tę wieżę pod kątami, których suma wynosi 90^\circ. Oblicz wysokość wieży (w metrach).

zad.13 Dwa pociągi wyruszają w tym samym momencie z punktu A do punktu B. Na początku poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym (początkowa prędkość równa jest zero, przyspieszenia są różne), po czym po osiągnięciu ustalonej (i różnej) prędkości poruszają się ruchem jednostajnym. Iloraz prędkości obu pociągów w ruchu jednostajnym wynosi 2. Po pokonaniu ćwierci dystansu od A do B pociągi spotykają się, a w tym momencie prędkość jednego jest półtora raza większa od prędkości drugiego. Oblicz iloraz czasów, w których pociągi te pokonały drogę od A do B.

zad.14 W kwadracie składającym się z 7\!\times\!7 kwadratowych komórek należy zaznaczyć środki k komórek tak, aby żadne cztery zaznaczone punkty nie były wierzchołkami prostokąta o bokach równoległych do boku kwadratu. Jaka jest największa możliwa liczba k ?

zad.15 Macierz, której wyrazy równe są 0 lub 1, nazywa się macierzą binarną. Ile wynosi największa liczba jedynek, jaką może posiadać odwracalna macierz binarna wymiaru 10x10?

-- 25 lutego 2014, 14:46 --

zad.16 Kwadratową macierz A nazywamy ortogonalną, jeśli A^TA=I, gdzie I oznacza macierz jednostkową. Oblicz sumę kwadratów minorów stopnia 2go (tj. wymiaru 2x2) macierzy ortogonalnej wymiaru 20x20.

zad.17 Niech f(x,y,z)=2x^2+2y^2-2z^2+\frac7{xy}+\frac1z. Oblicz n, jeśli wiadomo, że n=f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b) dla pewnych parami różnych liczb rzeczywistych a, b, c.

zad.18 Oblicz pole powierzchni elipsy o najmniejszym polu powierzchni, opisanej na trójkącie równoramiennym o podstawie 9\sqrt{3} i wysokości 5.

zad.19 Oblicz granicę \lim\limits_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}\,.

zad.20 Oblicz granicę \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{C^k_n}\right)^n\,. UWAGA: C^k_n oznacza liczbę kombinacji k-elementowych w zbiorze n-elementowym.

-- 25 lutego 2014, 15:06 --

zad.21 Niech x_0=2014, x_1=2015, oraz x_n=\big(1+\frac1n\big)x_{n-1}+\frac1nx_{n-2} dla n=2,3,\dots Oblicz \lim\limits_{n\to\infty}x_n\,.

zad.22 Oblicz wartość całki \int\limits_{-1}^{1}\,x^{2013}\,\ln(1+e^x)\,dx\,.

zad.23 Niech t=f(x) będzie rozwiązaniem równania t^5+t=x dla x>0. Oblicz wartość całki \int\limits_0^2\,f(x)\,dx\,.

zad.24 y=\frac1{x^2-20x+99}\,. Oblicz y^{(8)}(10)\,. UWAGA: y^{(n)} oznacza n-tą pochodną z funkcji y.

zad.25 Oblicz całkę \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{\arc\tg3x-\arc\tg9x}x\,dx\,.

-- 25 lutego 2014, 16:15 --

zad.26 Oblicz objętość figury ograniczonej paraboloidą z=x^2+y^2 i płaszczyzną z=x+y.

zad.27 Powietrze w pokoju o objętości 200m^3 zawiera 0,15\% dwutlenku węgla CO_2. Wentylator w ciągu minuty wymienia 20m^3 na powietrze zawierające 0,04\%\ CO_2. W jakim czasie (w minutach) stężenie dwutlenku węgla CO_2 w pokoju spadnie trzykrotnie? UWAGA: przyjmujemy, że wentylator działa jednostajnie.

zad.28 Znajdź sumę szeregu \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\,\frac{4^n\,(2n+1)}{n!}\,.

zad.29 Niech x_1,x_2,\dots,x_{2014} będą rozwiązaniami równania x^{2014}+x^{2013}+\cdots+x+1=0. Oblicz \sum\limits_{k=1}^{2014}\,\frac1{1-x_k}\,.

zad.30 Oblicz wartość całki \int\limits_0^{+\infty}\,\frac{x^2-4}{x^2+4}\,\frac{\sin2x}{x}\,dx\,.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lut 2014, o 18:30 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
zad 22:    


zad 24:    


zad 25:    


zad 28:    


zad 30:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lut 2014, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
Poniżej rozwiązania (oficjalne) wraz z liczbą uczestników (spośród wszystkich 52), którzy podali prawidłową odpowiedź. Rozwiązań organizatorzy nie przedstawiali, ew. opinie mogę wyrazić jedynie na podstawie moich rozwiązań (brakuje mi jeszcze jednego z zadań).

zad.1
Ukryta treść:    

zad.2
Ukryta treść:    

zad.3
Ukryta treść:    

zad.4
Ukryta treść:    

zad.5
Ukryta treść:    

zad.6
Ukryta treść:    

zad.7
Ukryta treść:    

zad.8
Ukryta treść:    

zad.9
Ukryta treść:    

zad.10
Ukryta treść:    

zad.11
Ukryta treść:    

zad.12
Ukryta treść:    

zad.13
Ukryta treść:    

zad.14
Ukryta treść:    

zad.15
Ukryta treść:    

zad.16
Ukryta treść:    

zad.17
Ukryta treść:    

zad.18
Ukryta treść:    

zad.19
Ukryta treść:    

zad.20
Ukryta treść:    

zad.21
Ukryta treść:    

zad.22
Ukryta treść:    

zad.23
Ukryta treść:    

zad.24
Ukryta treść:    

zad.25
Ukryta treść:    

zad.26
Ukryta treść:    

zad.27
Ukryta treść:    

zad.28
Ukryta treść:    

zad.29
Ukryta treść:    

zad.30
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lut 2014, o 22:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1599
Lokalizacja: Łódź
@Sir George
Chyba pozamieniałeś kolejność odpowiedzi:
zad. 2:    


zad. 1:    


PS:
Zad. 2 powinni chyba wszyscy rozwiązać bo to zadanie na poziomie liceum.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lut 2014, o 22:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
-- 25 lutego 2014, 18:29 --

luca52, nie bardzo rozumiem dlaczego w rozwiązaniu zad.22 zeruje Ci się druga całka.
Ja to robiłem tak:
Ukryta treść:    


-- 25 lutego 2014, 21:29 --

fon_nojman, zgubiłem rozwiązanie zad.3, a pierwsze dwa rozwiązania były przesunięte. Już poprawiłem.
Co zaś się tyczy zad.2, to przypuszczam, że większość uczestników w rozwiązaniu nie uwzględniała w sumie nie tak oczywistej informacji dotyczącej imion zwierząt.

-- 26 lutego 2014, 10:51 --

fon_nojman
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2014, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
@Sir George - w odp. do 11. jest błąd w formule.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lut 2014, o 10:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
patry93, nie bardzo widzę, gdzie miałby być błąd w \frac{\sqrt{21\,}}{\ 3} ...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lut 2014, o 22:45 
Gość Specjalny

Posty: 3044
Lokalizacja: Gołąb
Sir George, moja wina, po cichu edytowałem :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 cze 2014, o 16:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2218
Lokalizacja: Warszawa
Z nierozwiązanych problemów:
4:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 mar 2015, o 17:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
19 lutego 2015r. odbyła się kolejna edycja konkursu matematycznego w Mohylewie. Tym razem Polacy zdobyli tylko medal brązowy (nie licząc dwóch wyróżnień). Dla ciekawskich: tu więcej info (dzięki uprzejmości cioci Wikipedii).

Poniżej zadania z 6 edycji (tegorocznej) wraz z wynikiem i liczbą poprawnych rozwiązań - w zawodach wzięło udział 49 uczestników)

zad.1
Kwadratowe komórki prostokąta o wymiarach 7x8 pomalowano na biało, niebiesko lub czerwono tak, aby w każdym kwadracie 2x2 była komórka każdego koloru. Znajdź największą możliwą liczbę czerwonych komórek.
liczba popr. odp: 20
Ukryta treść:    


zad.2
45 studentów z różnych uczelni wzięło udział w olimpiadzie matematycznej. Po zakończeniu olimpiady n par studentów wymieniło adresy emailowe, Po pewnym czasie Misza z Moskwy potrzebował adresu email Maszy z Mohylewa. Dla jakiego najmniejszego n będzie to możliwe (z pomocą innych studentów)?
liczba popr. odp: 21
Ukryta treść:    


zad.3
30 drużyn wzięło udział w turnieju piłki nożnej. Po zakończeniu turnieju okazało się, że w grupie każdych trzech drużyn zawsze można było wskazać dwie z nich, które uzyskały taką samą liczbę punktów w meczach pomiędzy tymi trzema drużynami (3 punkty za zwycięstwo, 1 za remis, 0 za przegraną). Jaka jest najmniejsza liczba remisów, które mogły paść w turnieju?
liczba popr. odp: 4
Ukryta treść:    


zad.4
Dana jest taka liczba naturalna n, że liczba 2n ma 28 różnych dzielników naturalnych, a liczba 3n - 30 różnych dzielników. Ile różnych dzielników naturalnych ma liczba 6n?
liczba popr. odp:24
Ukryta treść:    


zad.5
Ile rozwiązań w przedziale [1,2015] ma równanie \left[\frac{x}2\right]+\left[\frac{x}3\right]+\left[\frac{x}6\right]=x? ([x] oznacza część całkowitą liczby x)
liczba popr. odp:38
Ukryta treść:    


zad.6
Znajdź największe rozwiązanie równania x^x=10^{10^{100}}.
liczba popr. odp:34
Ukryta treść:    


zad.7
Wiadomo, że w danym 17-kącie wypukłym żadne dwie przekątne nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. Znajdź liczbę punktów przecięć przekątnych leżących na zewnątrz 17-kąta.
liczba popr. odp:1
Ukryta treść:    


zad.8
Na ile sposobów można spośród liczb 1,2,\dots,12 wybrać grupę trzech lub więcej liczb tak, aby żadne dwie nie różniły się o dokładnie 6? (kolejność liczb w grupie nie ma znaczenia)
liczba popr. odp:12
Ukryta treść:    


zad.9Cztery kule o promieniu \sqrt{3} leżą na płaszczyźnie. Ich środki są wierzchołkami kwadratu o boku 2\sqrt{3}. Piątą kulę o takim samym promieniu położono w zagłębienie utworzone przez cztery pierwsze. Znajdź odległość najwyższego punktu piątej kuli od płaszczyzny.
liczba popr. odp:14
Ukryta treść:    


zad.10
Szklanka o kształcie walca, wypełniona po brzegi wodą, stoi na płaszczyźnie. Wysokość szklanki jest dwukrotnie większa od średnicy podstawy. Pod jakim kątem \varphi (przy czym 0\le\varphi\le\frac{\pi}2) od osi pionowej należy odchylić szklankę, aby dokładnie jedna trzecia wody wylała się na zewnątrz?
liczba popr. odp:22
Ukryta treść:    


-- 25 marca 2015, 08:54 --

cd zadań...

zad.11
W trapezie narysowano obie przekątne i połączono ich środki. Wraz z dolną podstawą i przekątnymi narysowana linia utworzyła nowy trapez. Operację tę powtórzono 2015 razy. Górna podstawa otrzymanego w ten sposób trapezu okazała się być równa górnej podstawie wyjściowego trapezu. Znajdź pole powierzchni wyjściowego trapezu, jeżeli jego wysokość wynosi \sqrt{2}, a długość górnej podstawy 4.
liczba popr. odp:12
Ukryta treść:    


zad.12
Kwadratową tablicę 10x10 wypełniono liczbami naturalnymi od 1 do 100 w następujący sposób: liczbę 1 wpisano w dowolnie wybrane pole; liczbę 2 wpisano w dowolne pole wiersza, którego numer jest równy numerowi kolumny, w której stoi 1; liczbę 3 w dowolne pole wiersza o numerze równym numerowi kolumny, w której stoi 2; itd. w końcu liczbę 100 wpisano w wierszu, którego numer jest równy numerowi kolumny, w której stoi 99. O ile różni się suma liczb w wierszu zawierającym 1 od sumy liczb w kolumnie, w której stoi 100?
liczba popr. odp:15
Ukryta treść:    


zad.13
Oblicz wartość wyznacznika \left|\begin{array}{cccccc}1&2&3&\dots&9&10\cr10&1&2&\dots&8&9\cr\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr2&3&4&\dots&10&1\end{array}\right|.
liczba popr. odp:7
Ukryta treść:    


zad.14
Podaj sumę wszystkich elementów macierzy \cos\begin{pmatrix}0&1&1\cr0&0&1\cr0&0&0\end{pmatrix}.
liczba popr. odp:15
Ukryta treść:    


zad.15
Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia \sqrt{(x-9)^2+4}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(y-3)^2+9}.
liczba popr. odp:3
Ukryta treść:    



-- 25 marca 2015, 13:04 --
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2015, o 16:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Zdziwiła mnie tak niska liczba poprawnych odpowiedzi w porównaniu do poziomu tych zadań.

Mógłbym wiedzieć, kto tam startował i czy są na Internecie jakieś listy nagrodzonych? Szkoda, że nie mam już styczności ze środowiskiem akademickim, bo bym sobie chętnie wystartował.

Zadania raczej konkursowe niż olimpijskie (przynajmniej z tych początkowych), ale niektóre były dość ciekawe. Znalazłem czas na zrobienie kilku i spisanie ich tutaj:

Zadanie 1:    


Zadanie 2:    


A poniższe miałem na "Kangurze Matematycznym", gdy byłem w 1 LO... oO
Zadanie 4:    


Zadanie 5:    


Co do zadania 6 - rozwiązanie nie jest "ładne", a już na pewno nie wynosi tyle, ile napisałeś, Sir George.
Zadanie 6:    


Zadanie 8:    


Zadanie 9:    


Zadanie 10:    


Zadanie 11:    


Zadanie 12:    


Zadanie 14:    


Tylko 3 poprawne odpowiedzi w zadaniu 15?
Zadanie 15:    


-- 30 marca 2015, 19:54 --

Nie mogę już edytować powyższej wiadomości, więc wrzucę jeszcze to:

Zadanie 3:    


Zadanie 7:    


Zadanie 13:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 kwi 2015, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
Sylwek: masz rację co do zadania 6. Cóż, też nie mogę już edytować... poprawne równanie to:
x^x=10^{10^{1003}}
... i teraz "wychodzi" właściwe rozwiązanie. A metoda jest oczywiście ta sama, którą przedstawiłeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Vojtěch Jarník International Mathematical Competition  buus  3
 V Middle European Mathematical Olympiad  Swistak  10
 [LaTeX] Couldn't open font map file "kanjix.map"  Fl3t05  4
 latex w open office.  Ankaaa993  4
 Publikacja pracy w klasycznym czasopiśmie, a Open Access  cobong  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl