szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2013, o 11:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3360
Lokalizacja: Krk
Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego




Na forum powstaje coraz więcej tematów związanych z tymi zagdanieniami. Postanowiłem opisać ten problem (dla niektórych banalny, a dla innych wręcz przeciwnie), żeby wszyscy użytkownicy mogli na spokojnie zajrzeć tu, aby rozwiać wszelkie wątpliwości. W tym temacie zawrę równanie kwadratowe oraz jeden z prostszych przykładów równania czwartego stopnia, a mianowicie równanie dwukwadratowe.


Równanie kwadratowe



Równanie kwadratowe możemy wyrazić za pomocą wzoru ogólnego ax^2+bx+c=0. Ilość rozwiązań takiego równania zależy od wyróżnika równania kwadratowego \Delta. Rozpatrując ten problem musimy także zwrócić uwagę na przypadek liniowy.



Dla a \neq 0 równanie posiada następującą ilość pierwiastków:
2 pierwiastki, gdy \Delta >0
1 pierwiastek, gdy \Delta =0
0 pierwiastków, gdy \Delta <0


Dla a = 0 \wedge b \neq 0 równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, któro posiada 1 rozwiązanie \left(x= - \frac{c}{b} \right).


Idąc dalej tokiem naszego rozumowania sprawdzamy, co dzieje się, gdy inne współczynniki się zerują; i tak dla a = 0 \ \wedge \ b = 0 mamy 2 możliwości:
a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c = 0 - nieskończenie wiele rozwiązań
oraz
a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c \neq 0 - brak rozwiązań



Podsumowanie:

\bullet nieskończenie wiele rozwiązań dla:
    a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c=0

\bullet dwa rozwiązania dla:
    a \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0

\bullet jedno rozwiązanie dla:
    a \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \\ a=0 \ \wedge \ b \neq 0

\bullet brak rozwiązań dla:
    a \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c \neq 0


\hline


Równanie dwukwadratowe



Równanie dwukwadratowe to szczególny przypadek równania czwartego stopnia dx^4 + px^3 + ex^2 + qx + f=0, gdzie p=0 oraz q=0. Przyjmuje więc postać dx^4 + ex^2 + f=0. Najczęściej dla ułatwienia stosujemy podstawienie t=x^2, więc równanie wygląda następująco: dt^2 + et + f=0. Możemy zauważyć podobieństwo do klasycznego równania kwadratowego, więc ilość rozwiązań będzie zależeć od wyróżnika oraz iloczynu \left( t_{1} \cdot t_{2}\right) i sumy \left( t_{1} + t_{2}\right) pierwiastków. Postanowiłem zrobić tabelki, aby ułatwić zrozumienie problemu. Liczby wewnątrz symbolizują ilość rozwiązań równania dwukwadratowego w zależności od podanych warunków.



Pierwiastkami równania dla \Delta >0t_{1} oraz t_{2}.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{gray!40} \Delta > 0  \wedge d  \neq 0 & t_{1} + t_{2} > 0 & t_{1} + t_{2} = 0 & t_{1} + t_{2} < 0 \\
\hline
t_{1} \cdot t_{2} > 0 & 4 & - & 0 \\
\hline
t_{1} \cdot t_{2} = 0 & 3 & 1 & 1 \\
\hline
t_{1} \cdot t_{2} < 0 & 2 & 2 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dla \Delta = 0 pierwiastkiem jest t_{0}.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{gray!40}d  \neq 0 & t_{0} > 0 & t_{0} = 0 & t_{0} < 0 \\
\hline
\Delta = 0 & 2 & 1 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dla \Delta < 0  \wedge d \neq 0 równanie nie posiada rozwiązań.



Musimy także rozpatrzeć sytuacje, w których d=0. Nasze równanie \left( dx^4 + ex^2 + f=0\right) przyjmie wtedy postać ex^2+f=0. Posłużę się kolejną tabelką do lepszego zobrazowania omawianej sytuacji.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{gray!40}e \neq 0 \wedge d=0 & f_{}  >  0 & f_{}  = 0 & f_{}  <  0 \\
\hline
e_{} > 0 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
e_{} < 0 & 2 & 1 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



Kontynuując nasze rozważania, pozostaje nam tylko do sprawdzenia co się dzieje, gdy zarówno d=0 \wedge e=0. Więc po podstawieniach równanie wygląda tak: f=0. Tutaj już nie ma nic skomplikowanego, ponieważ ostatnie 2 sytuacje, które mogą wystąpić prezentuje kolejna (czwarta z kolei) tabela.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{gray!40}d = 0 & f = 0 & f \neq 0 \\
\hline
e = 0 & \infty & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



Podsumowanie:

\bullet nieskończenie wiele rozwiązań dla:
    d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f=0

\bullet cztery rozwiązania dla:
    d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0

\bullet trzy rozwiązania dla:
    d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0

\bullet dwa rozwiązania dla:
    d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f < 0

\bullet jedno rozwiązanie dla:
    d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} \le 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} = 0 \\ d = 0 \ \wedge \ f = 0

\bullet brak rozwiązań dla:
    d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f < 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f \neq 0


\hline


Dotarliśmy już do końca. Mam nadzieję, że temat pomoże wielu osobom, które nie mogą znaleźć tych informacji w sieci na jednej stronie, tylko muszą "skakać" po linkach, aby zgromadzić wiadomości. Wydaje mi się, że zagadnienie zostało omówione dość dokładnie, żeby je zrozumieć i posługiwać się nim przy rozwiązywaniu zadań. Jak już pisałem na początku nie jest to wybitnie trudna matematyka, ale dla gimnazjalisty/licealisty powinna być pomocna. Na koniec proszę was o pisanie priv, jeżeli znajdziecie jakikolwiek błąd.

Pozdrawiam!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sty 2014, o 11:10 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
a ta funkcja dwukwadratowa nie zamienia się tylko na t?
Góra
Kobieta
PostNapisane: 25 lis 2015, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: polska
mortan517, witam, czy ma Pan może założenia do zadań z parametrem z wielomianami do 3-ciej potęgi? :) widziałam, że ma Pan super opisane do 4-tej i 2-giej, dlatego szukam gdzieś do 3-ciej, ale nie potrafię znaleźć :C
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2015, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 16644
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pytanie podstawowe: czy równanie x+5=0 jest równaniem kwadratowym? Moim zdaniem nie jest. W definicji równania kwadratowego należy zatem dołożyc założenia, że a\neq 0 i ograniczyć analizę tylko do takich przypadków.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2015, o 21:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3360
Lokalizacja: Krk
a4karo,
Cytuj:
Dla a = 0 \wedge b \neq 0 równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, któro posiada 1 rozwiązanie \left(x= - \frac{c}{b} \right)

Pisząc to dwa lata temu, wydawało mi się wystarczające :)


aska397, szukaj haseł wzory Cardano, równanie sześcienne. W internecie jest pełno materiałów. Nawet ktoś na tym forum chyba to analizował, ale teraz nie znajdę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2015, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 16644
Lokalizacja: Bydgoszcz
Moim zdanie pisanie, ze bx+c=0 jest szczególnym przypadkiem równania kwadratowego i analizowanie go w tym kontekście jest mało trafne, bo niby dlaczego ma byc równaniem kwadratowym, a nie równaniem trzeciego stopnia.

sądzę,że wykluczenie tego przypadku uczyniłoby wywód dużo jaśniejszym, logiczniejszym i łatwiejszym do ogarnięcia. Podobnie jak przypadek równania dwukwadratowego przy d=0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego  mortan517  0
 Wyznaczanie równania paraboli.  Anonymous  5
 Wyróżnik trójmianu kwadratowego z parametrem.  Anonymous  1
 (2 zadania) Rozwiąż równania z pierwiastkiem  basia  2
 (3 zadania) Równania z parametrem. Wzory Viete'a  Anonymous  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl