szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Witam, szereg do zbadania:

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n (2x-3)^{2n-1}

t = 2x-3

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n t^{2n-1} =\sum_{n=1}^{\infty} 10^n (t^2)^n \cdot \frac{1}{t} = \frac{1}{t} \sum_{n=1}^{\infty} 10^n (t^2)^n

t^2 = m

Sprawdzam zbieżność szeregu:

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n m

R= \frac{1}{10}\Rightarrow m\in(-\frac{1}{10}, \frac{1}{10})

\frac{1}{t} \cdot t^2 \in (-\frac{1}{10}, \frac{1}{10})

I na końcu jeszcze podstawiam dla x. Czy ta metoda jest zła i dlaczego?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 18:30 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
Kvothe napisał(a):
t^2 = m

Sprawdzam zbieżność szeregu:

\sum_{n=1}^{\infty} 10^n m


Bo tu masz błąd...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Tak, oczywiście tam powinno być:
\sum_{n=1}^{\infty}10^n m^n

Źle przepisałem, chodzi mi o to czy mogę sobie tak wyłączyć \frac{1}{t} a później do mnożyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
trochę schludniej wygląda wyłączenie stałej:
\sqrt{10}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{10}(2x-3)\right)^{2n-1}

Zauważ, że choć ten szereg zawiera tylko wyrazy o nieparzystych potęgach, nadal jest szeregiem geometrycznym zbieżnym gdy |\sqrt{10}(2x-3)|<1. Sprawdź, co się dzieje na krańcach przedziału zbieżności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
|\sqrt{10}(2x-3)|<1 \iff x \in \left(\frac{30-\sqrt{10}}{20}, \frac{30 + \sqrt{10}}{20}\right)

\mathrm{Dla}\  \ x = \frac{30-\sqrt{10}}{20}:

\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \sqrt{10} \cdot \left(\frac{30-\sqrt{10}}{10} - 3\right)\right]^{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n-1} \Rightarrow \mathrm{szereg \  rozbieżny,\  bo \ nie \ spełnia \ warunku \  koniecznego}

\mathrm{Dla}\  \ x = \frac{30+\sqrt{10}}{20}:

\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \sqrt{10} \cdot \left(\frac{30+\sqrt{10}}{10} - 3\right)\right]^{2n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} 1^{2n-1} \Rightarrow \mathrm{szereg \  rozbieżny,\  bo \ nie \ spełnia \ warunku \  koniecznego}

\mathrm{Zatem\ szereg\ jest\ zbieżny\ dla}\ x \in \left(\frac{30-\sqrt{10}}{20}, \frac{30 + \sqrt{10}}{20}\right), \ \mathrm{dobrze?}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2013, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
:)

-- 9 gru 2013, o 22:14 --

Jako ćwiczenie, oblicz jego sumę :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Zabiorę się do tego zadania, gdy tylko doczytam jak to dokładnie się robi. Mam tylko ogólne pojęcie, żeby całkować lub różniczkować, w zależności od potrzeby. Kilka dni z Fichtenholzem i powinienem to rozwiązać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 08:10 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie musisz czytać Fichtenholza (choć gorąco polecam). Wskazówkę do rozwiązania znajdziesz w jednym z moich wcześniejszych postów. Przypomnij sobie wiadomości ze szkoły.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 11:53 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Zatem możliwość jest tylko jedna, chodzi o sumę szeregu geometrycznego, gdzie:

a_1 =q= \sqrt{10}(2x-3)

S_{2n-1} = a_1 \cdot \frac{1-q^{2n-1}}{1-q} = \frac{a_1}{1-q} - \frac{a_1 q^{2n-1}}{1-q}

q \xrightarrow{n\to \infty} 0 \Rightarrow S_{2n-1} \to \frac{a_1}{1-q}

S_{2n-1} = \frac{\sqrt{10}(2x-3)}{1-\sqrt{10}(2x-3)}

Czy dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie za bardzo - pomyśl jaki jest iloraz szeregu.
Pamiętasz o \sqrt{10} przed sumą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Tak, rzeczywiście, zapomniałem o tym \sqrt{10} ale wystarczy później domnożyć do sumy. Sposób na wyznaczenie ilorazu mam taki, aby obliczyć pierwszy i drugi wyraz sumy, i podzielić, powinno wyjść. Jeśli się nie pomyliłem w obliczeniach, to q = 10(2x-3)^2 Z tego wynika, że:

S_{2n-1} = \frac{\sqrt{10}(2x-3)}{1-10(2x-3)^2}

Lepiej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 13:42 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
To nie jest S_{2n-1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Znowu zapomniałem o \sqrt{10}

S= \frac{10(2x-3)}{1-10(2x-3)^2}

Zatem to jest S_n czy źle to robię?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 16543
Lokalizacja: Bydgoszcz
To juz suma szeregu. OK. Życzę Ci dużo frajdy w zabawach z matematyką.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2013, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Kraków
Jasne, dzięki za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregu potęgowego - zadanie 8  SebS29  3
 zbieżność szeregu potęgowego - zadanie 9  kasztan00126  8
 Zbieżność szeregu potęgowego  Bormac  1
 Zbiezność szeregu potęgowego  yanoosh89  2
 Zbieżność szeregu potęgowego - zadanie 11  blackbird936  3
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl