szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 30 lis 2013, o 14:25 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Kraków
Podać przykład przestrzeni unitarnej X oraz jej domkniętej podprzestrzeni Y takiej, że
Y\oplus Y^{\perp}  \neq  X

Proszę o pomoc i z góry za nią dziękuję :)
Góra
PostNapisane: 30 lis 2013, o 14:53 
Użytkownik
Niech X będzie przestrzenią unitarną która nie jest przestrzenią Hilberta. Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał f:X \rightarrow \mathbb{R} taki, że f(u) nie jest p ostaci \left< u, x\right> dla żadnego x\in X .
Niech Y=\mbox{ Ker}f i niech x\perp Y . Twierdzimy, że x=0 . Istotnie gdyby x \neq 0 , to dla funkcjonału \varphi (u) =\left< u, x\right> zachodziłą by implikacja
\forall_{u\in X} (f(u) =0 \Rightarrow \varphi (u) =0)

Weźmy dowolny u\in X tali, że f(u) \neq 0 oraz v\in X wówczas v-\frac{f(v)}{f(u)} u\in \mbox{ Ker}f , więc
f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .
Sprzeczność.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 lis 2013, o 15:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Kraków
Tylko, że ja miałam podać przykład przestrzeni unitarnej i jej domkniętej podprzestrzeni...

Nie bardzo rozumiem to co napisała brzoskwinka1
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2013, o 13:41 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
jadzia18811 napisał(a):
Tylko, że ja miałam podać przykład przestrzeni unitarnej i jej domkniętej podprzestrzeni...

Nie bardzo rozumiem to co napisała brzoskwinka1


Ano podała Ci przykład ogólny, gdzie za X możesz sobie podstawić cokolwiek niezupełnego. [/tex]
Góra
Kobieta
PostNapisane: 1 gru 2013, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Kraków
aha...
nie zaczaiłam :P
to tylko jeszcze jedno pytanie- czemu brzoskwinka doszła do sprzeczności? To jakiś dowód tego czy jak?

-- 2 gru 2013, o 16:36 --

rozwiązanie prawie zostało zaakceptowane przez prowadzącego, podoba mu się pomysł, więc bardzo dziękuję :)

piszę prawie, bo poprosił o wyjaśnienie dlaczego istnieje ciągły i liniowy funkcjonał, a ja zgłupiałam.
Proszę o pomoc raz jeszcze.

brzoskwinka1 napisał(a):
Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał f:X \rightarrow \mathbb{R} taki, że f(u) nie jest p ostaci \left< u, x\right> dla żadnego x\in X .


Oprócz istnienia tego funkcjonału zwrócił mi uwagę, że nie rozumie tej ostatniej równości:

brzoskwinka1 napisał(a):
więc
f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .
Sprzeczność.


Proszę o jakieś wyjaśnienie, choć nie ukrywam, że znacznie bardziej zależy mi na tym wcześniejszym problemie- istnienia funkcjonału.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 gru 2013, o 18:49 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
jadzia18811 napisał(a):
Proszę o pomoc raz jeszcze.

brzoskwinka1 napisał(a):
Istnieje wówczas ciągły i liniowy funkcjonał f:X \rightarrow \mathbb{R} taki, że f(u) nie jest p ostaci \left< u, x\right> dla żadnego x\in X .

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonałów charakteryzuje przestrzenie Hilberta. Dokładniej, przestrzeń unitarna X jest przestrzenią Hilberta (jest zupełna) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciągły funkcjonał liniowy na X jest takiej postaci. Ponieważ w Twoim przypadku X jest niezupełna, istnieje funkcjonał, który nie jest tej postaci.

jadzia18811 napisał(a):
Oprócz istnienia tego funkcjonału zwrócił mi uwagę, że nie rozumie tej ostatniej równości:

brzoskwinka1 napisał(a):
więc
f(v) =\frac{f(u)}{\varphi (u)}\cdot \varphi (v) .
Sprzeczność.


Proszę o jakieś wyjaśnienie, choć nie ukrywam, że znacznie bardziej zależy mi na tym wcześniejszym problemie- istnienia funkcjonału.


Element v- \frac{f(v)}{f(u)}u należy do jądra f, tzn.

f(v- \frac{f(v)}{f(u)}u)=0.

Użyj liniowości f.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 gru 2013, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 166
Lokalizacja: Bytom
... po czym faktu, że skoro ten element należy do jądra f, to należy też do jądra \varphi.

Sprzeczność polega na tym, że założyliśmy że f nie jest postaci \langle u, x \rangle, po czym otrzymaliśmy że jest on wielokrotnością funkcjonału o tej postaci (a oczywiście rodzina funkcjonałów tej postaci jest 'domknięta' ze względu na mnożenie przez skalary).

To rozumowanie rozwiązuje Twój problem, bowiem nasz funkcjonał f nie jest zerowy - w szczególności Y=Ker f\neq X - ale Y^\perp=0, więc Y\oplus Y^\perp=Y\neq X.

Jeżeli cała ta zabawa jest dla Ciebie trochę zbyt abstrakcyjna, weź sobie przestrzeń c_{00} z normą \ell^2, rozważ funkcjonał f((x_n))=\sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}k i wykaż, że jeśli Y=Ker f to masz to czego potrzebujesz w zadaniu - jest to po prostu ukonkretyzowanie ogólnego algorytmu wskazanego przez brzoskwinkę.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 4 gru 2013, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Kraków
Baaardzo, bardzo dziękuję :)

wasza pomoc powoduje, że mogę iść w końcu spać wcześniej, bo nic nie muszę robić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 norma w przestrzeni ilorazowej  Anonymous  1
 pokazac ze bezwarunkowo zbiezn szereg w przestrzeni hilberta  pauli 0128  6
 Ośrodkowość przestrzeni C(X) + przestrzeń sprzężona  Ryland  5
 Zanurzenie w przestrzeni Hilberta  miki999  3
 operator liniowy w przestrzeni unormowanej dowód  21mat  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl