szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lis 2013, o 04:36 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: warszawa
Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać, że takowy nie
istnieje oraz element najmniejszy lub wykazać, że takowy nie istnieje, jeśli
A= \left\{ \frac{2013n+k}{n+2013k}: n,k \in \ZZ, n, k \ge 10000 \right\}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lis 2013, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Warszawa
Cześć, widzę, że również rozwiązujesz zadania z puli jawnej na kolokwium :)
Mi się udało znaleźć kresy zbioru A, ale nie do końca rozumiem jak wykazać, że nie istnieje element największy lub najmniejszy.

\sup A = 2013 \not\in A
\inf A = \frac{1}{2013} \not\in A

2013 jest ograniczeniem górnym, ponieważ

\forall n,k \in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} < 2013 \iff 2013n + k < 2013n + 2013^{2}k \iff \\ k < 2013^{2}k

n, k \in N, ponieważ n, k \in Z \wedge n, k \ge 1

2013 jest kresem górnym, ponieważ

\forall \varepsilon>0 \quad \exists n, k\in N \quad \frac{2013n + k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ \frac{2013n + 2013^{2}k - (2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff \\ 2013 - \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > 2013- \varepsilon \iff -\frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} > - \varepsilon \iff \\ \varepsilon > \frac{(2013^{2} - 1)k}{n + 2013k} \iff  n + 2013k > \frac{(2013^{2} - 1)k}{\varepsilon}

Za k podstawiamy na przykład 10000 i otrzymujemy

n + 20130000 > n > \frac{(2013^{2} - 1)10000}{\varepsilon}

Z zasady Archimedesa wynika, że istnieją takie n, k

Podobnie postępujemy z kresem dolnym.
Natomiast nie do końca rozumiem jak wykazać, że istnieje/nie istnieje element największy lub najmniejszy. Czy mógłby ktoś dość schludnie to wytłumaczyć? :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać z definicji, że granica nie istnieje.  Ł_Y_S_Y  2
 (2 zadania) Rozwiąż równania. Znaleźć liczby  comix  3
 Wykazać, że zachodzi równość ... ciąg Fibbonaciego  Anonymous  7
 Wykazać zbieżność ciągów  Undre  1
 Element najwiekszy i najmniejszy ??  wolfen3  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl