szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 18:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
Czy zbiór macierzy o wyznaczniku równym 1 jest półgrupą, monoidem, grupą ? Łatwo pokazać, że nawet jak dodam dwie macierze o wyznacznikach równych jeden to w wyniku niekoniecznie otrzymamy macierz o wyznaczniku równym jeden. Czy to znaczy, że dany zbiór nawet nie jest półgrupą ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
A jakie rozważasz działanie w grupie macierzy? Naturalnym działaniem jest składanie, natomiast wspominasz o dodawaniu.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
yorgin, zapomnialem o tym wspomnieć. Mówię o dodawaniu macierzy.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Ok, upewniłem się.

leszczu450 napisał(a):
Czy to znaczy, że dany zbiór nawet nie jest półgrupą ?


Działanie wychodzi poza zbiór, więc mamy bardzo, ale to bardzo kiepskie działanie. Ten zbiór nie ma żadnej sensownej struktury. Działanie nie jest wewnętrzne i jestem niemal pewien, że nawet łączne nie jest.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
yorgin, czyli w takim wypadku, zbiór nie jest ani półgrupa, ani monoidem ani grupą. Tak?

Takie mam zadanie, nic źle nie przepisałem : )

-- 8 lis 2013, o 19:09 --

yorgin, ups zapomniałem jeszcze dodać, że sa to macierze kwadratowe stopnia n ze współczynikami z ciała K. Ale to chyba nic nie zmienia.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
leszczu450 napisał(a):
yorgin, czyli w takim wypadku, zbiór nie jest ani półgrupa, ani monoidem ani grupą. Tak?

Podstawą do któregokolwiek z tych pojęć jest wewnętrzność działania. Jego brak oznacza...



leszczu450 napisał(a):
yorgin, ups zapomniałem jeszcze dodać, że sa to macierze kwadratowe stopnia n ze współczynikami z ciała K. Ale to chyba nic nie zmienia.

Kwadratowe to wiadomo, inaczej wyznacznika nie policzysz. Co do ciała - zastanówmy się. Niezależnie od ciała jeżeli weźmiemy dwie macierze identycznościowe i policzymy wyznacznik ich sumy, to dostaniemy 2^n, gdzie n jest wymiarem macierzy.

Dalej luźna "gadka".Jeżeli teraz ciało jest charakterystkyki 3 oraz n=2, to 2^2\equiv 1\mod 3. Co więcej \det(2Id)\equiv 1\mod 3 i tylko Id oraz 2Id mają wyznaczniki równe 1, ale \det(Id+2Id)\equiv 0\mod 3 więc znów wypadamy poza zbiór.

Być może dla jakiegoś wymiaru n i charakterystki p by wyszło, ale w ogólnym wypadku, dla porządnych ciał, nie chce działać. Niemniej ja nie wiem i raczej nie podejmę się poszukiwań n oraz p.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
yorgin, a co jeśli działaniem będzie mnożenie? Wtedy mamy łączność. \det(A) \det(B) = \det(AB). Mamy element wyróżniony działania- macierz jednostkowa. Teraz jeszcze trzeci warunek. Czy dla każdej macierzy o wyznaczniku jeden istnieje taka macierz, że ich iloczyn da nam macierz jednostkową. Tego trzeciego warunku właśnie nie jestem w stanie sprawdzić.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:27 
Gość Specjalny

Posty: 5971
Lokalizacja: Toruń
Macierz odwrotna do danej spełnia ten warunek.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 19:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
Dzięki za pomoc : ) A co będzie jeśli zbiorem będzie teraz zbiór wsyzstkich macierzy ? Jeśli jako działanie damy dodawanie to będzie to grupa. A co jeśli będzie to mnożenie?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 20:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Jeżeli rozważasz wszystkie macierze, to grupy nie dostaniesz. Dopiero po usunięciu macierzy osobliwych wyjdzie struktura grupy. Podobnie jest chociażby dla liczb rzeczywistych - musisz zero usunąć, by dostać grupę ze względu na mnożenie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2013, o 20:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
yorgin, tak też myślałem : ) Dzięki wielkie!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy jest grupą? - zadanie 6  marsoft  5
 Czy jest grupą? - zadanie 3  basia_er  5
 Czy jest grupą? - zadanie 4  alfredooo  3
 Czy jest grupą? - zadanie 7  Klawy123  3
 czy jest grupą?  gdorota1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl