szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 paź 2013, o 19:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
Cześć !

Twierdzenie z tematu jest dosyć łatwe w dowodzenie i nie zaskakuje. Jednak po co ono w ogóle jest? Do czego może służyć określenie zwartego obrazu?

Z góry dziękuję!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 paź 2013, o 19:48 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3960
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
To twierdzenie ma wiele zastosowań, na przykład do pokazywania zwartości. Przykładowe zastosowanie:

Załózmy, że (K,\tau) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz na K istnieje topologia zwarta Hausdorffa \sigma słabsza (niemocniejsza) od \tau, tzn. \sigma\subseteq \tau. Wówczas \sigma = \tau. Istotnie, identyczność

\mbox{id}\colon (K, \tau) \to (K,\sigma)

jest ciągła oraz oczywiście na, więc każdy zbiór domknięty A w (K,\sigma) jest zwarty, jako podzbiór (K,\sigma). Wynika stąd, że gdy A\subset K jest \tau-domknięty to jest \sigma-domknięty, bo zwarte podzbiory przestrzeni zwartej Hausdorffa, są domknięte. Oznacza to, że jeżeli U\in \tau, to K\setminus U jest domknięty w \sigma, czyli U jest otwarty w \sigma! Innymi słowy, \sigma = \tau. \square

W skrócie: zwarte topologie Hausdorffa są elementami minimalnymi w rodzinie wszystkich topologii Hausdorffa na danym zbiorze.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 paź 2013, o 20:31 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Jak już jesteśmy przy przestrzeniach Haussdorfa, to ciągłe bijekcje przestrzeni zwartych w przestrzenie Haussdorfa są homeomorfizmami.

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 paź 2013, o 23:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4414
Lokalizacja: Toruń
Dziękuję Wam bardzo : ) Co prawda, nie miałem na wykładzie nic o przestrzeniach Hausdorffa ale i tak mniej więcej widze do czego przydaje się twierdzenie o którym wspomniałem. Nie wiem czy mój wykład jest po prostu taki ubogi czy może będe o tym wszystkim miał na topologii na trzecim roku : )
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Otwartość zbioru, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej.  Anonymous  16
 Topologia - wnetrze zbioru  Ewcia  1
 Pochodna pochodnej zbioru...  mapiech  1
 Jest to przestrzena metryczna jesli spelnione sa warunki...  Naiya  4
 (2 zadania) Wykazać, że t\A jest topologia itp.  DominikaWarzech  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl