szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 24 cze 2013, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 254
Lokalizacja: Łódź
Zadanka z dnia I:

1. Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg, przy czym spełniony jest warunek BC=CD. Niech \omega będzie okręgiem o środku C stycznym do BD, a I środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABD. Wykazać, że prosta przechodząca przez I, równoległa do AB, jest styczna do \omega.

2. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej x>0 oraz liczby całkowitej dodatniej n spełniona jest nierówność
x^n+\frac1{x^n}-2\ge n^2\left(x+\frac1x -2\right)

3. Niech R będzie zbiorem takich liczb wymiernych r, dla których prawdziwe jest następujące zdanie:
Jeśli x jest niewymierna, to przynajmniej jedna z liczb x^2-rx, x^3-rx jest niewymierna.
Udowodnić, że
a) Jeśli r jest wymierne i r\ge\frac43 lub r\le0, to r\in R.
b) Jeśli p,q są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, spełniającymi nierówność 3p<4q, to \frac pq\not\in R.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 24 cze 2013, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Warszawa
1. takie chyba na zachętę, choć moje rozwiązanie nie jest zbyt sprytne:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 24 cze 2013, o 16:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
przez przypadek chyba dali zadania z CzPS Juniorów, drugie zadanie też jest trywialne...
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 24 cze 2013, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Warszawa
fajne rozwiązanie tej nierówności, da się też indukcyjnie, stosując indukcję dwa razy. ale i tak jest więcej pisania
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 25 cze 2013, o 12:59 
Użytkownik

Posty: 254
Lokalizacja: Łódź
Drugi dzień:
4. Dane są liczby całkowite a,b, przy czym b nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wykazać, że x^2+ax+b może być kwadratem liczby całkowitej jedynie dla skończenie wielu całkowitych x.
5. Trójkąt równoboczny o boku n podzielony jest na n^2 komórek będących trójkątami równobocznymi (wiadomo jak). Niektóre z komórek są zarażone. Co sekundę, wszystkie niezarażone komórki, które sąsiadują bokiem z co najmniej dwoma zarażonymi komórkami, stają się zarażone. Wyznaczyć najmniejszą liczbę komórek, które wystarczy zarazić na początku, żeby po pewnym czasie każda komórka była zarażona, gdy n=12.
6. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o. Punkt P jest środkiem łuku BC okręgu o zawierającego punkt A. Okrąg o średnicy CP przecina dwusieczną kąta BAC w punktach K i L(punkty A, K, L leżą w tej kolejności na prostej). Ponadto, M jest punktem symetrycznym do L względem prostej BC. Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie BKM połowi odcinek BC.
Góra
Kobieta
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 25 cze 2013, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Bielsko-Biała
4:    
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 26 cze 2013, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
wyniki
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 26 cze 2013, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Warszawa
6. też jakiś żal... szczególnie jak na ostatnie
Ukryta treść:    

w ogóle co oni odwalili z tym CzPS-em w tym roku, trzy zadania (1,2,6) darmowe. chyba, że zawsze tak robią.

-- 26 cze 2013, o 23:20 --

o lol, chyba ludzie się przestraszyli tej geometrii, jak może być najwięcej zer z darmówki...
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 27 cze 2013, o 19:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
lol szóste faktycznie na samych kątach co za żal

jakub_jabulko pokaż jak liczyłeś
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 27 cze 2013, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Warszawa
właściwie to są kąty+trywialna potęga punktu.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 27 cze 2013, o 20:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
fajne rozwiązanie

podobno autor zadania dostarczył to zadanie komisji z dwoma rozwiązaniami korzystającymi z izogonalnych sprzężeń (ja też z nich korzystałem), ale jak widać da się je rozwiązać znacznie prościej

pozdro
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 27 cze 2013, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Warszawa
pokaż to swoje rozwiązanie, bo jestem ciekaw, jak tu wcisnąć sprzężenia izogonalne
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: CzPS 2013 a
PostNapisane: 27 cze 2013, o 21:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
izogsprz6:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pytanie do CZpS  Kartezjusz  1
 CzPS 2012 bla  Swistak  6
 [MEMO 2013] Wieści z MEMO  kaszubki  13
 VIII CzPS  michaln90  3
 EGMO 2013 - zadania  Msciwoj  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl