szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 cze 2013, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 5822
Lokalizacja: Kraków
Algebra:
Cytuj:
...zajmuje się działaniami i wyrażeniami
od. ok. IX w; od matematyka arabskiego Alchwarizmiego - Hisab al dżabr ua mukabala.

algebra to
Cytuj:
jest upraszczanie i przekształcanie wyrażeń.
Jest to także przekładanie niewiadomej w równaniu.

(np. c - a =b , a =c - b itp. )


Cytuj:
Tożsamość, tożsamy, to samo, tym samym, identyczne


zmienne a, b, c oraz x, y, z, .... \in R
jak też a_j, x_j
zaś n, m, k, l, .... są w N=\{1, 2,....\} bądź Z =\{ 0, \pm 1, \pm 2,...\}

tożsamości: Eulera, z pierwiastkami, Abela, różnice i sumy kwadratów, oraz innych potęg, z niejednoznacznością rozkładu, o zerowej sumie, złożone - (Degen) lub Ramanujan Tożsamość 6-8-10 i inne (Hirschhorn 3 - 7 - 5), Lagrange, Czebyszew, Binet, z Nww i Nwd , do teorii równań diofantycznych, z cechą , bikwadraty, uogólnienia i inne
aktualizacja: 71 tożsamości;

Tożsamości z pierwiastkami
Jeśli a^2 - b = c^2 to
\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - c}{2}}
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{ a + 2\sqrt{ab} + b}
2(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}) = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2
\sqrt[2n]{x^{2m}} = \sqrt[n]{|x|^m}
gdy m=n=1 to \sqrt{x^2} = |x|

Tożsamość Eulera
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2)( y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2) =  (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1 +x_3y_4 -x_4y_3)^2 + (x_1y_3 - x_3y_1 + x_4y_2 - x_2y_4)^2 + (x_1y_4 - x_4y_1 +  x_2y_3 - x_3y_2)^2
gdy x_3 = x_4 = y_3= y_4 = 0 to:
Fibonacci
(x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) = (x_1y_1 + x_2y_2)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2
gdy x_1 = x_2 = 1 \ y_1 = a \ y_2=b jn.
jeśli n=a^2 + b^2 to 2n = (a+b)^2 + (a - b)^2


Rozkłady różnicy potęg
Iloczyn - kwadrat
4ab = (a+b)^2 - (a - b)^2
gdy b=1 \ a=k jn.

k =  (\frac{k + 1}{2})^2 - (\frac{k - 1}{2})^2
k =(\frac{kn^2+1}{2n})^2 -  (\frac{kn^2 - 1}{2n})^2
gdy n=1 jw.

oraz
\begin{cases} (x - 2y)^2  - 2(x - y)^2 = - (x^2 - 2y^2)\\(3x + 4y)^2 - 2(2x + 3y)^2 = x^2 - 2y^2\\(x^2 + zy^2)^2 - z(xy)^2 =  (x^2 - zy^2)^2   \end{cases}


Niejednoznaczność rozkładu

\begin{cases} 2k - 1=(2l^2 - k)^2 + (2l)^2 - (2l^2 - k+1)^2\\2k= (2l^2 + 2l -k)^2 +(2l +1)^2 - (2l^2 + 2l - k +1)^2 \end{cases}

x^2 = (\frac{x(k^2 - 1)}{k^2 +1})^2 +(\frac{2xk}{k^2 +1})^2


Rozkłady - ogólnie
a^{2n} - b^{2n} = (a - b)(a^{2n-1} + a^{2n-2}b... + ab^{2n-1} + b^{2n-1})
a^{2n +1} \pm  b^{2n + 1} = (a \pm  b)(a^{2n} \mp a^{2n - 1}b + a^{2n-2}b^2 \mp .... \mp ab^{2n - 1} + b^{2n})
ale a^{2n} + b^{2n} brak rozkładu
np.
\begin{cases} a^3 - b^3=(a - b)(a^2 + ab + b^2) \\a^3 + b^3= (a+b)( a^2 - ab + b^2)\end{cases}

oraz
\\(a +b +c) ^3 - (a^3 + b^3 + c^3) = 3(a+b)(b+c)(c+a)

i: sześcian - różnicą i sumą kwadratów
\begin{cases} (x(x^2 - 3y^2))^2 + (y(3x^2 - y^2))^2=(x^2 + y^2)^3 \\(x(x^2 + 3y^2))^2 - y(3x^2 + y^2)^2= (x^2 - y^2)^3  \end{cases}


Tożsamość trójmianu
(x^2 + axy + by^2)(t^2 + atu + bu^2)= r^2 + ars + bs^2
gdy \begin{cases} r = xt - byu \\s= yt + xu + ayu\end{cases}

Pitagoras
(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2

ax^2 +bx+c = a( (x  +  \frac{b}{2a})^2  - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) gdy a \neq 0


Zmienne o zerowej sumie
\begin{cases} a^3+ b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)( a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)  \\ 2(a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2) - (a^4 + b^4 +c^4)= (a+ b+c)(a+b - c)(a+c - b)(b+c - a) \end{cases}

tj.
Jeśli a + b + c =0 to:
\begin{cases} a^3 + b^3 +c^3 = 3abc \\2(a^4 + b^4 +c^4)=(a^2 + b^2 +c^2)^2 \end{cases}


Tożsamości z cechą i z NWD i NWW
\lfloor x + \frac{1}{2}  \rfloor =  \lfloor 2x  \rfloor - \lfloor x   \rfloor

\begin{cases} \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor }{n} \rfloor = \lfloor \frac{x}{n}  \rfloor\\\lfloor  \frac{ \lfloor \frac{n}{m} \rfloor }{k} \rfloor =\lfloor \frac{n}{mk} \rfloor \end{cases}  \end{cases}

\lfloor  -x \rfloor = -\lfloor  x \rfloor - 1 gdy x \notin Z

\lfloor  x+n \rfloor = \lfloor  x \rfloor + n


NWD(a, b)NWW(a, b) = ab
abc=NWD(a, b,c)NWW(ab, ac, bc)

algorytm Euklidesa
NWD(a, b) =  NWD(b, a - b) gdy a>b



Tożsamości a bikwadraty
Tożsamość Lucasa
6( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 +  x_4^2) ^2  = (x_1 + x_2)^4 + (x_1 - x_2)^4  + (x_1 + x_3)^4 + (x_1 - x_3)^4 + (x_1 + x_4)^4 + (x_1 - x_4)^4 + (x_2 + x_3)^4 + (x_2 - x_3)^4  + (x_2 + x_4)^4 + (x_2 - x_4)^4  + (x_3 + x_4)^4 + (x_3 - x_4)^4

Catalan
( x^2 + y^2 + z^2)^3 = x^2(3z^2 - x^2 - y^2)^2 + y^2(3z^2 - x^2 - y^2)^2 + z^2(z^2 - 3x^2 - 3y^2)^2


Ferrari
(a^2 +2ac - 2bc - b^2)^4 + (b^2 - 2ab - 2ac - c^2)^4 + (c^2 +2ab + 2bc - a^2)^4 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab + ac + bc)^4

(a^3b(b^4 - 1)^2)^4 - (a^3(b^4 - 1)^2)^4 = (a^4(b^4 - 1)^3)^3
2(3x^2 + y^2)^4 =  (3x^2 + 2xy - y^2)^4 +  (3x^2 - 2xy - y^2)^4 + (4xy)^4
(a^2 - 2ac^3  - 4a^2d^4)^2 + (2ac)^3 + (2ad)^4 = (a^2 + 2ac^3 + 4a^2d^4)^2


Tożsamości “ złożone” - przykłady
Chrystal
\frac{(b-c)^2 + (b+c)^2+ 2(b^2 - c^2) }{(b^4 - 2b^2c^2 + c^4)( \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{2}{b^2 - c^2} + \frac{1}{(b+c)^2} )} = 1 gdy b \neq c

(y + z)^2(y^2 + xz)(z^2 + xy) + (x + y)^2(x^2 + yz)(y^2 + xz)  + (x +z)^2(x^2 + yz)(z^2 + xy) - 6(x^2+ yz)(y^2+ xz)(z^2+xy)= yz(y^2 - z^2)^2 + xz(x^2 - z^2)^2 + xy(x^2 - y^2)^2 + (y-z)^2(z - x)^2(x - y)^2

Degen


Tożsamości “ inne”
S. Germain
x^4+ 4 =(x^2 + 2x +2)(x^2 - 2x +2)

(x + 1)^2 +(x+4)^2 - (x+2)^2 - (x+3)^2 = 4
(6x^3 + 1)^3 - (6x^2)^3 - (6x^3 - 1)^3 =2
6x =  (x + 1)^3 + (x - 1)^3 + (- x)^3+ (- x)^3

Candido
(x^2 + y^2 + (x+y)^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + (x+y)^4)

b - \sqrt{b^2 - 1}= \frac{1}{ b + \sqrt{b^2 - 1}}

P. Erdös
\frac{4}{2m} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1}+ \frac{1}{m(m+1)}

\frac{1}{x}= \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2x^2 + x}+ \frac{1}{2x^2 + 3x + 1}

x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} = (x^{m} + \frac{1}{x^{m}})( x^{n} + \frac{1}{x^{n}}) - (x^{m - n} + \frac{1}{x^{m - n}})


Formuły -uogólnienia

Newton
(a + b)^n =  a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b +...{n \choose k}a^{n-k}b^k+ ...+ {n \choose n-1}ab^{n-1} + b^n
(a_1 + \ldots + a_k)^n = \sum_{j_1,j_2,\ldots, j_k} \frac{n!}{j_1!j_2!\ldots j_k!} a_1^{j_1} \ldots a_k^{j_k}, gdzie j_1 + \ldots + j_k=n
np. gdy n=3 to (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3a^2b + 3ab^2+ 3b^2c + 3cb^2+ 3c^2a + 3ca^2 + 6abc
gdy c=0 jn.
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

J. Bernoulli tożsamość sumacyjna
1^k + 2^k + ... + (n-1)^k +n^k = \frac{1}{k+1}  \sum_{j=0}^{k} {k+1 \choose j} B_j n^{k+1 - j}
gdy \sum_{j=0}^{i}{i+1 \choose j} B_j=0  \\B_0=0
tj. B_1= - \frac{1}{2} \ B_2= \frac{1}{6} \ B_3 =0 itd.

tożsamość sum harmonicznych
H_n = 1 + \frac{H_0 +H_1+...+H_{n-1}}{n}
dla H_n = 1 +\frac{1}{2} + ... +\frac{1}{n} \\ H_0=0

Polezzi
NWD(m, n) = 2 \sum_{j=1}^{m - 1} \lfloor \frac{jn}{m} \rfloor + m + n  - mn

Hermite
\lfloor nx  \rfloor = \lfloor x  \rfloor +  \lfloor x + \frac{1}{n}  \rfloor + ... + \lfloor x + \frac{n - 1}{n} \rfloor

Tożsamości ciąg - suma - iloczyn
a_m = a_0  + (a_1 - a_0) + ... + (a_m - a_{m - 1})
s_n = \sum_{j=0}^{n} a_j = s_0 \frac{s_1}{s_0}... \frac{s_n}{s_{n - 1}}=s_0 \prod_{j=0}^{n-1}  (1 + \frac{a_{j+1}}{a_0 + ... +a_j}) o ile s_j \neq 0


Tożsamość Abela
b_1c_1 + b_2c_2 +... + b_{n -1}c_{n - 1}  + b_nc_n  = b_1(c_1 - c_2)  + ... + (b_1 +...+ b_j)(c_j - c_{j+1})  + ....+ (b_1 +... + b_n)c_n
np. gdy n=3 to
b_1c_1 + b_2c_2 +b_3c_3 = b_1(c_1 - c_2) +  (b_1 + b_2 )(c_2 - c_3) + (b_1 + b_2+ b_3 )c_3


Czebyszew n=3
(a_1+ a_2 +a_3)(b_1+ b_2 +b_3)=3(a_1b_1 + a_2b_2 +a_3c_3) - ((a_1 - a_2)(b_1 - b_2) + (a_1 - a_3)(b_1 - b_3) + (a_2 - a_3)(b_2 - b_3)  )

Tożsamość Lagrange’a
(\sum_{j=1}^{n} a_{j}b_{j})^2 = (\sum_{j=1}^{n} a_{j}^2) (\sum_{j=1}^{n} b_{j}^2)  - \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} (a_ib_{j} - a_jb_i)^2

jest to Cauchy- Binet gdy a_j = c_j \ b_j = d_j jw.
(\sum_{j=1}^{n} a_{j}c_{j})(\sum_{j=1}^{n} a_{j}c_{j}) - (\sum_{j=1}^{n} a_{j}d_{j})(\sum_{j=1}^{n} b_{j}c_{j}) =  \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} (a_ib_{j} - a_jb_i)( c_id_{j} - c_jd_i)

gdy n=2 to (a_1c_1+ a_2c_2)(b_1d_1 + b_2d_2) - (b_1c_1 + b_2c_2)(a_1d_1 + a_2d_2) = (a_1b_2 - a_2b_1)(c_1d_2 - c_2d_1)



..........................................................................................................................
t o b e c o n t i n u e d....?!?
uwagi, ulepszenia, błędy > etc : > priv (pw)
Wszelkie ominięte tu tożsamości > zgłaszać na priv (pw)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nieznajomość tożsamości  Matiks21  1
 Tozsamosci tryg.  Fajken  1
 wykaż że ...(tożsamości)  spacja  4
 Tożsamości rachunku zbiorów.  Bonkers  1
 sprawdzenie tożsamości - zadanie 9  anitusia1994  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl