szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2007, o 23:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Dla z\neq(0,0) zachodzi \arg{(z^{n})}=n\arg{z}, n\in\mathbb{Z}. Oznacza to, że dla \arg{z} istnieje taki argument \arg{(z^{n})}, że zachodzi \arg{(z^{n})}=n\arg{z}.

Dowód:
  1. n\in\mathbb{N}_{+}, indukcyjnie:
    1. n=1:
      \arg{(z^{1})}=\arg{z}=1\cdot\arg{z}
    2. założenie: \arg{(z^{n_{0}})}=n_{0}\arg{z}
    3. teza: \arg{(z^{n_{0}+1})}=(n_{0}+1)\arg{z}
    Dowód:
    \arg{(z^{n_{0}+1})}=\\=\arg{(z^{n_{0}}\cdot z)}=\\=\arg{(z^{n_{0}})}+\arg{z}=\\=n_{0}\arg{z}+\arg{z}=\\=(n_{0}+1)\arg{z}.
  2. n=0:
    \arg{(z^{0})}=\arg{(z^{1-1})}=\arg{\left(\frac{z}{z}\right)}=\arg{1}=2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
    Ponieważ dla dowolnej liczby zespolonej z\neq(0,0) istnieje \arg{(z^{0})}=0, (gdy k=0), więc zachodzi \arg{(z^{n})}=n\arg{z}, gdyż mamy \arg{(z^{0})}=0=0\cdot\arg{z}
  3. n\in\mathbb{Z}_{-}, podstawiamy n=-m, wtedy:
    \arg{(z^{n})}=\\=\arg{(z^{-m})}=\\=\arg{\left(\frac{1}{z^{m}}\right)}=\\=\arg{1}-\arg{(z^{m})}=\\=\arg{1}-m\arg{z}=\\=\arg{1}+n\arg{z}.
    Biorąc \arg{1}=0 otrzymujemy \arg{(z^{n})}=n\arg{z}.

\blacksquare

Uwaga - zachodzi wzór de Moivre'a:

(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi).

Uzasadnienie:
z=\cos\varphi+i\sin\varphi
|z|=\sqrt{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}=1
\arg{(z^{n})}=n\arg{z}=n\varphi, bo \arg{z}=\varphi.

Zatem: z^{n}=|z^{n}|(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))=|z|^{n}(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).
Oraz: z^{n}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}.
Czyli: (\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl