szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: prosta i wektor
PostNapisane: 18 sty 2013, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 1054
Lokalizacja: Warszawa
Witam :)
Jak rozwiązać to zadanie:
Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora u i przechodzącej przez punkt P, gdy:
a) \vec{u} =[-2,-2] P = (2,2)


l:\ Ax+By+C=0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{u}=[A;B]\ \perp \ l

Z czego to wynika?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: prosta i wektor
PostNapisane: 18 sty 2013, o 21:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6499
Lokalizacja: Kraków
Weźmy dwa punkty P_1, P_2 \in l, gdzie l:Ax+By+C=0. Pokażemy, że wektor \vec{u}=[kA,kB] jest prostopadły do l.
Niech P_1=(x_1,y_1), \ P_2=(x_2,y_2).
Współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie prostej.
Mamy więc :
\begin{cases} Ax_1+By_1+C=0 \\ Ax_2+By_2+C=0 \end{cases}

Odejmując stronami mamy :
A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0 \ \ \ \ \ \left(\star\right)

Zauważmy, że wektor \vec{t}=\vec{P_2P_1}=[x_1-x_2, y_1-y_2] jest równoległy do prostej l, bo punkty P_1,P_2 należą do tej prostej.

Policzmy teraz iloczyn skalarny \vec{u}\circ\vec{t}=kA(x_1-x_2)+kB(y_1-y_2)=k\left[A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)\right]. Na mocy \left(\star\right) jest on równy 0. Zatem wektory \vec{t} oraz \vec{u} są prostopadłe, ale \vec{t} jest równoległy do l, czyli \vec{u} jest prostopadły do l.

Przyjmując k=1 mamy to co chcieliśmy pokazać.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: prosta i wektor
PostNapisane: 20 sty 2013, o 01:06 
Użytkownik

Posty: 1054
Lokalizacja: Warszawa
mhm, dziękuję :)
A da się to jakoś jeszcze pokazać bez używania iloczynu skalarnego?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: prosta i wektor
PostNapisane: 20 sty 2013, o 01:14 
Moderator

Posty: 3038
Lokalizacja: Starachowice
Jakoś mniej formalnie - wydobyć informację o współczynniku kierunkowym prostej, na której leży podany wektor [-2;-2].

Przypuśćmy że wektor zaczyna się w punkcie (0;0), wtedy jego koniec jest w (-2;-2). Z tego widać że linia na której leży wektor ma wsp. kierunkowy a=1. Jeżeli szukana prosta ma być \perp do prostej zawierającej wektor, to wiadomo że musi mieć współczynnik kierunkowy równy -1. Zatem jej równanie to y=-x+b. Współczynnik b znajdujesz podstawiając współrzędne P.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta i Wektor - zadanie 2  KamilTarnobrzeg  1
 Prosta i wektor  Pusiux  1
 wychodzi 1 prosta zamiast 2  tukanik  10
 Prosta zawierajaca cieciwe okregu  szyms  1
 Punkt o współrzędnych (x,y,z) a przesunięcie o wektor  gawcyk1986  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl