szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sty 2013, o 04:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2394
Lokalizacja: Katowice
Dane są krzywe x+y^2=\sqrt{m} oraz x=m (m +2) y^2. Znaleźć m, dla którego pole trójkąta wyznaczonego przez (0,0) i dwa punkty przecięcia tych krzywych ma największe pole.

Z dedykacją dla Tetriando.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sty 2013, o 17:33 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Bolesławiec
Zrobione :)

Na początku określmy m dla którego zadanie ma sens. Jest to m > 0, gdyż ogranicza nas \sqrt{m} oraz fakt, że m nie może wynosić 0, gdyż wtedy druga krzywa stałaby się prostą i nie miałaby 2 punktów wspólnych z pierwszą krzywą (od razu mamy załatwioną sprawę przy dzieleniu przez m i (m+2))


Na początku przyjrzyjmy się krzywym:

x+y^2 = \sqrt{m}
x = m(m+2)y^2

oraz zerknijmy na wzór ogólny paraboli z poziomą osią symetrii:

(y-h)^2 = 4p(x-k)

Gdzie (h,k) to wierzchołek paraboli a p ognisko

Przekształćmy nasze oba równania by pasowały do wzoru ogólnego:

(y-0)^2 = 4(-\frac{1}{4})(x-\sqrt{m})

(y-0)^2 = 4\frac{1}{4m(m+2)}(x-0)


Da się tu zauważyć pewną istotną rzecz. Mianowicie wierzchołki obu parabol nie przesuwają się w pionie ((y-\textcolor{red}{0})^2). W związku z tym będą zawsze miały wspólną poziomą oś symetrii a na dodatek wiemy jaką: OX.

Co jeszcze można ciekawego powiedzieć o tych parabolach?

Wierzchołek drugiej paraboli zawsze będzie w tym samym miejscu (0,0) (tam gdzie nasz dodany punkt, ale to nie szkodzi). Gwarantuje nam to część: (x-0)

Pierwsza parabola będzie miała stałe ujemne ognisko p = -\frac{1}{4}.
Druga parabola będzie miała zawsze dodatnie ognisko p = \frac{1}{4m(m+2)}.

Tak więc parabole zawsze będą miały ramiona przeciwnie do siebie skierowane.


Jednak co jest w tym wszystkim najważniejsze?
Jeśli parabole mają wspólną poziomą oś symetrii to ich punkty przecięcia będą również w symetrii względem, w tym przypadku, osi OX

Dodatkowo fakt, że dodany punkt (0,0) również znajduje się na osi OX gwarantuje nam, że ten trójkąt będzie zawsze równoramienny.

Wystarczy więc znaleźć 1 punkt przecięcia, na przykład ten o dodatniej współrzędnej y, policzyć pole trójkąta prostokątnego o punktach (0,0),(x,0),(x,y) i je podwoić.

(x,y) - punkt przecięcia się krzywych (dodatnie y)

W tym wypadku do policzenia pola wystarczy obliczyć iloczyn x \cdot y.

Wystarczy jedynie przekształcić x oraz y na wzory z parametrami a później poszukać maksimum naszej funkcji S(m) = xy.



Tak więc przejdźmy do zasadniczej części zadania - liczenia :)


Wstawmy równanie drugiej krzywej do równania pierwszej krzywej:

Druga krzywa:

x = m(m+2)y^2

y^2 = \frac{x}{m(m+2)}

Wstawiamy do pierwszej:

x + \frac{x}{m(m+2)} = \sqrt{m}

\frac{m(m+2)x+x-m(m+2)\sqrt{m}}{m(m+2)} = 0

Mianownik nas nie interesuje, więc go wyrzucamy:

m(m+2)x+x-m(m+2)\sqrt{m} = 0

\textcolor{red}{x = \frac{m(m+2)\sqrt{m}}{m(m+2)+1}}

Nasze \textcolor{red}{x} już mamy, teraz wstawmy je do jednego z równań krzywych, na przykład drugiego, by znaleźć y zależne tylko i wyłącznie od m.


Wstawiamy x do drugiej krzywej:

y^2 = \frac{\textcolor{red}{x}}{m(m+2)}

y^2 = \frac{\textcolor{red}{m(m+2)}\sqrt{m}}{m(m+2)+1} \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{m(m+2)}}

y^2 = \frac{\sqrt{m}}{m(m+2)+1}

\textcolor{red}{y = \sqrt{\frac{\sqrt{m}}{m(m+2)+1}}}  \vee y = -\sqrt{\frac{\sqrt{m}}{m(m+2)+1}}

Wybieram dodatnie \textcolor{red}{y}. Jako jedna z dwóch możliwości, które wybrałem na początku.


A teraz wstawmy to wszystko do wzoru na pole:

S(m) = x \cdot y = \frac{m(m+2)\sqrt{m}}{m(m+2)+1}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{m}}{m(m+2)+1}}

Teraz czas na przekształcenia i uproszczenia.

Zauważmy, że mogę uprościć wyrażenie m(m+2)+1 a dodatkowo wyciągnąć je spod pierwiastka bez modułu co gwarantuje mi m>0

m(m+2)+1 = m^2+2m+1 = (m+1)^2

S(m) = \frac{m(m+2)\sqrt{m}}{(m+1)^2}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{m}}{(m+1)^2}} = \frac{m(m+2)\sqrt{m}\sqrt{\sqrt{m}}}{(m+1)^3}} = \frac{m^{\frac{7}{4}}(m+2)}{(m+1)^3}}


Oto mój ostateczny wzór:
\textcolor{red}{S(m) = \frac{m^{\frac{7}{4}}(m+2)}{(m+1)^3}}}

Teraz policzmy pochodną, by znaleźć nasze ekstremum(maksimum) dla m>0 co będzie równoznaczne ze znalezieniem maksymalnego pola naszego trójkąta.

S'(m) = \left(\frac{m^{\frac{7}{4}}(m+2)}{(m+1)^3}}\right)' = \frac{(m^{\frac{7}{4}} \cdot (m+2))' \cdot \textcolor{red}{(m+1)^3} - m^{\frac{7}{4}} \cdot (m+2) \cdot 3\textcolor{red}{(m+1)^2}}{\textcolor{red}{(m+1)^6}} =


= \frac{(\frac{7}{4}m^{\frac{3}{4}}(m+2) + m^{\frac{7}{4}})(m+1) - 3m^{\frac{7}{4}}(m+2)}{(m+1)^4} =

=\frac{(\frac{7}{4}m^{\frac{7}{4}} + \frac{14}{4}m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{7}{4}})(m+1) - 3m^{\frac{11}{4}} - 6m^{\frac{7}{4}}}{(m+1)^4} =

= \frac{(\frac{11}{4}m^{\frac{7}{4}} + \frac{14}{4}m^{\frac{3}{4}})(m+1) - 3m^{\frac{11}{4}} - 6m^{\frac{7}{4}}}{(m+1)^4} \cdot \frac{4}{4} =

= \frac{(11m^{\frac{7}{4}} + 14m^{\frac{3}{4}})(m+1) - 12m^{\frac{11}{4}} - 24m^{\frac{7}{4}}}{4(m+1)^4} =

= \frac{11m^\frac{11}{4} + 11m^\frac{7}{4} + 14m^\frac{7}{4} + 14m^\frac{3}{4} - 12m^\frac{11}{4} - 24m^\frac{7}{4}}{4(m+1)^4} =

= \frac{-m^\frac{11}{4} + m^\frac{7}{4} + 14m^\frac{3}{4}}{4(m+1)^4} =

= \frac{m^\frac{3}{4}(-m^\frac{8}{4} + m^\frac{4}{4} + 14m^\frac{0}{4})}{4(m+1)^4} = \frac{\sqrt[4]{m^3}(-m^2 + m + 14)}{4(m+1)^4}

\textcolor{red}{S'(m) = \frac{\sqrt[4]{m^3}(-m^2 + m + 14)}{4(m+1)^4}}

Pochodną już mamy, czas ją przyrównać do zera i poszukać pierwiastka dodatniego (m>0)

\frac{\sqrt[4]{m^3}\textcolor{red}{(-m^2 + m + 14)}}{4(m+1)^4} = 0

Dzukam pierwiastków tylko w nawiasie, gdyż wyrażenie wynosi 0 gdy licznik wynosi 0 a \sqrt[4]{m^3} nas nie interesuje gdyż pierwiastkiem(ami) będzie tutaj zawsze 0 a 0 nie spełnia nierówności m > 0.

-m^2 + m + 14 = 0

\Delta = 1 + 4\cdot14 = 57

m_{1} = \frac{-1-\sqrt{57}}{-2} = \textcolor{red}{\frac{1+\sqrt{57}}{2} > 0  \approx 4,274917}

m_{2} = \frac{1-\sqrt{57}}{2} < 0


Tak więc dla:

m = \frac{1+\sqrt{57}}{2} \approx 4,274917

Pole trójkąta jest największe i wynosi ono:

S_{max} = \frac{\left(\frac{1+\sqrt{57}}{2}\right)^{\frac{7}{4}}(\frac{1+\sqrt{57}}{2}+2)}{(\frac{1+\sqrt{57}}{2}+1)^3}} \approx 0,543356
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sty 2013, o 17:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2394
Lokalizacja: Katowice
Perfecto :D.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 figura F z parametrem  patrycja3601  1
 krzywe stozkowe  dabros  0
 Układ równań z parametrem w geometrii analit.  osob  1
 Równanie okręgu z parametrem - zadanie 3  Peres  3
 proste z parametrem  Fjodor  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl