szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 19 wrz 2012, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kościan
W trójkącie ABC punkt D dzieli bok AB na odcinki długości 4 i 8. Miara kąta \angle ACD jest dwa razy mniejsza niż miara kąta \angle DCB. Wyznacz długość boku BC, jeśli wiadomo, że |AC| = 6.

Wiem, że w tym zadaniu jest błąd z wynikiem ale nie mam w ogóle pomysłu jak to zacząć, pomożecie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 19 wrz 2012, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 22936
Lokalizacja: piaski
Z twierdzenia sinusów w trzech trójkątach jest tyle równań co niewiadomych (do końca nie liczyłem, nie wiem jak idzie).

Może jest coś ,,sympatyczniejszego".
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 19 wrz 2012, o 20:52 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Ja zrobiłbym tak (być może to bardzo karkołomne rozwiązanie):

1) oznaczyć \alpha=|\angle ACD|, \beta=|\angle ADC| - wtedy |\angle BCD|=2\alpha, |\angle CDB|=\pi-\beta
2) zastosować twierdzenie sinusów w trójkątach ACD, BCD (zapisując stosunki względem wszystkich powyższych kątów;

Po powyższych krokach powstanie układ równań, z którego można wyznaczyć zależność między |BC| a \cos\beta.

3) zastosować twierdzenie kosinusów w trójkącie ABC względem kąta \angle ACB

Teraz powstanie już tylko równanie sprowadzalne do dwukwadratowego, z niewiadomą długością szukanego boku.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 19 wrz 2012, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 22936
Lokalizacja: piaski
Czyli jest tak jak u mnie.

Czekamy (ewentualnie) na inne.
Góra
Kobieta
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 20 wrz 2012, o 14:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
\angle ACD=\alpha\ \ \ \ \angle BCD=2\alpha\ \ \ \ \angle CAB=\beta
AC=6\ \ \ \ AD=4\ \ \ \ BD=8\ \ \ \ AB=12\ \ \ \ BC=x

z tw. kosinusów w \Delta ABC
x^2=6^2+12^2-2\cdot6\cdot12\cdot \cos \beta\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \beta=\frac{18-x^2}{144}

z tw. sinusów w \Delta ADC
\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{4}{\sin \alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \color{magenta}\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{2}\sin \alpha (^*)

z tw. sinusów w \Delat BCD
\frac{x}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{8}{\sin 2\alpha}\ \ \to\ \ \frac{2x}{3\sin \alpha}=\frac{8}{2\sin \alpha\cdot \cos \alpha}\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \alpha=\frac{6}{x}

z tw. sinusów w \Delta ABC
\frac{x}{\sin \beta}=\frac{12}{\sin 3\alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \sin \beta=\frac{x}{12}\sin 3\alpha\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\sin \beta=\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)

z (^*)

\frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \cos \beta+\sin \beta\cdot \cos \alpha\\
\frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha\ \ /:\sin \alpha
\frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot (4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha

\frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \left(4\cdot\left(\frac{6}{x}\right)^2-1\right)\cdot \frac{6}{x}\ \ \ \to\ \ \ \color{blue}x=3\sqrt{2\sqrt{41}-6} \approx 7,8266

\color{blue}\alpha \approx 39,95^o\ \ \ \ \ \ \beta \approx 34,45^o
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 20 wrz 2012, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kościan
Cytuj:
z tw. sinusów w \Delta ADC
\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}

dlaczego w twierdzeniu sinusów zamiast trzeciego sinusa np. gamma można użyć sinusa alfa+beta?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 20 wrz 2012, o 21:19 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
\sin\gamma=\sin[\pi-(\alpha+\beta)]=\sin(\alpha+\beta)

(twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie + wzór redukcyjny)
Góra
Kobieta
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 20 wrz 2012, o 21:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
\frac{6}{\sin \gamma}=\frac{6}{\sin \left(180^o-(\alpha+\beta)\right)}=\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: długość boku
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 19:03 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kościan
Dzięki wielkie za pomoc:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 długość boku - zadanie 3  mastaitwastaxd  1
 Długość boku - zadanie 4  asiula0321  1
 długość boku  kk94  3
 Długość boku - zadanie 5  uki122  2
 długość boku - zadanie 2  jakub-mft  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl