szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sie 2012, o 18:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie 1. Punkt J jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta ABC naprzeciwko wierzchołka A.
Okrąg ten jest styczny do boku BC w punkcie M oraz do prostych AB i AC odpowiednio w punktach
K i L. Proste LM i BJ przecinają się w punkcie F , a proste KM i CJ przecinają się w punkcie G.
Niech S będzie punktem przecięcia prostych AF i BC, a T punktem przecięcia prostych AG i BC.
Wykazać, że punkt M jest środkiem odcinka ST .

Zadanie 2. Niech n\geq3 będzie liczbą całkowitą oraz niech a_2,a_3,...,a_n będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, dla których a_2a_3...a_n=1. Udowodnić, że:
(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n > n^n

Zadanie 3.Gra w zgadującego i kłamcę rozgrywa się pomiędzy dwoma graczami A i B. Reguły
gry są zależne od dwóch całkowitych dodatnich liczb k i n, które są znane obu graczom.
Na początku gracz A wybiera liczby całkowite x i N spełniające 1 \leq x \leq N . Gracz A trzyma
liczbę x w tajemnicy, natomiast liczbę N przekazuje graczowi B. Gracz B z kolei próbuje zdobyć
informacje o liczbie x zadając graczowi A pytania. Przed każdym pytaniem gracz B wybiera dowolny
zbiór S dodatnich liczb całkowitych, po czym pyta gracza A, czy liczba x należy do zbioru S. Gracz
B może zadać tyle pytań, ile chce, może także wielokrotnie wybierać ten sam zbiór S. Na każde
pytanie gracza B, gracz A musi natychmiast odpowiedzieć, odpowiadając tak lub nie. Może przy
tym skłamać dowolną liczbę razy, pamiętając jednak, że odpowiadając na każde k + 1 kolejnych
pytań, co najmniej raz musi powiedzieć prawdę.
Po zakończeniu zadawania pytań gracz B musi podać zbiór X złożony z co najwyżej n dodatnich
liczb całkowitych. Jeśli liczba x należy do zbioru X, gracz B wygrywa, w przeciwnym wypadku,
gracz B przegrywa. Dowieść, że
1. jeśli n \geq 2^k , to gracz B może zagwarantować sobie zwycięstwo,
2. dla każdej dostatecznie dużej liczby k istnieje taka liczba całkowita n \geq 1.99^k , przy której gracz B nie może zagwarantować sobie wygranej.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, że dla dowolnych liczb całkowitych a,b,c spełniających a+b+c=0 zachodzi równość:
f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)
(Symbol \mathbb{Z} oznacza zbiór liczb całkowitych)

Zadanie 5. Niech ABC będzie trójkątem, w którym \angle BCA = 90^{\circ} oraz niech D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Punkt X leży wewnątrz odcinka CD. Niech K będzie punktem leżącym na odcinku AX, przy czym BK = BC. Niech L będzie punktem leżącym na odcinku BX, przy czym AL = AC. Punkt M jest punktem przecięcia prostych AL i BK.
Wykazać, że MK = ML.

Zadanie 6. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których istnieją nieujemne liczby całkowite a_1,a_2,...,a_n spełniające:
\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+...+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+...+\frac{n}{3^{a_n}}=1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sie 2012, o 19:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 482
Lokalizacja: Warszawa
poza 3,4,6 które wydają mi się mocno harde, to chyba do zrobienia, może któreś skrobnę i wrzucę jak będę miał trochę czasu. Może wypowiedzą się tegoroczni uczestnicy ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie 2.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sie 2012, o 03:21 
Użytkownik

Posty: 53
Lokalizacja: Skierniewice
4:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 gru 2013, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Rzeszów
Zadanie 1
Ukryta treść:    

Zadanie 2
Ukryta treść:    

Zadanie 3
Ukryta treść:    

Zadanie 4
Ukryta treść:    

Zadanie 5
Ukryta treść:    

Zadanie 6
Ukryta treść:    

Komentarz do zadań
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 gru 2013, o 15:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1873
Lokalizacja: Warszawa
Wtf? Mógłbyś napisać konkretne rozwiązania do 2. i 3.? Indukcja zwykła czy wsteczna moim zdaniem tu nie ma prawa działać, bo założenie się kopsa i się dzieją rzeczy, nad którymi nie za bardzo da się zapanować. A co do 3. to widziałem wiele osób rozwiązujących to zadanie i nikt nigdy nie miał najmniejszego nawiązania do jakichkolwiek grafów, bardzo wątpię, aby miały one jakiekolwiek zastosowanie w tym zadaniu. A, no i z ciekawości bym spytał o odpowiedź do zadania 4. :D. Nie rozwiązanie, bo nie będzie mi się chciało go czytać, ale jedynie te funkcje, które w końcowym efekcie wychodziły.
No i dodajmy do tego, że wrzucanie "rozwiązań" złożonych z 2 słów zawsze uważałem za bucerskie, nic nie wnosi do tematu tylko ma wydźwięk "patrzcie jaki jestem zarąbisty" :P.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93  Logoandre  2
 EGMO 2012 - Polki wygrały!  adamm  15
 CzPS 2012 bla  Swistak  6
 EGMO 2013 - zadania  Msciwoj  8
 [IMO 2013] Zadania  Msciwoj  17
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl