szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 18 cze 2012, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Łódź
Witam koledzy!
Mam pewien problem i niestety nie mam zbytnio czasu żeby szukać w internecie odpowiedzi na nurtujące mnie pytania, a nie posiadam żadnych wykładów ze studiów. Początkowo zacząłem nawet samemu szukać odpowiedzi, ale nie znalazłem nic konkretnego, a zajęło mi to sporo czasu. Od dawna nie miałem z tym do czynienia i nie ukrywam, że nie wiem dokładnie o co tutaj chodzi. Po prostu tego nie pamiętam. Proszę kolegów o pomoc, tzn. wytłumaczenie tego wszystkiego. Mam wiele zadań do rozwiązania, ale może zacznę od jednego, a być może jakoś mi to rozjaśni obraz tego wszystkiego. Poniżej jedno z zadań:

W wyniku 10 pomiarów zawartości białka w owocach pewnej rośliny otrzymano w procentach: 11,6; 10,1; 10,9; 11,2; 13,7; 15,6; 17,1; 14,2; 12,9; 11,2. Wyznaczyć:
a) wartość przeciętną(w procentach) zawartości białka,
b) wariancję i odchylenie standardowe zawartości białka dla danej próbki,
c) przedział ufności dla wartości przeciętnej na poziomie ufności 0,99 przy założeniu, że badana cecha ma rozkład normalny.

A więc co zrobiłem:
a)w tym wypadku będzie to po prostu średnia arytmetyczna(proszę mnie poprawić jeśli się mylę)
\overline{x}= \frac{1}{n}  \sum_{i=1}^{n}x_{i}=12,85

b) jeśli chodzi o wariancję i odchylenie standardowe to liczę to następująco:
Wariancja:
\sigma^2= \frac{1}{n}  \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2=4,6545
Odchylenie standardowe:
\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}  \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2}=2,1574

c)co do przedziału ufności to korzystam z następującego wzoru:
\overline{x}-u_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<m<\overline{x}+u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 11.0898<m<14.6101

\overline{x} - to jest moja średnia, którą wyliczyłem
\sigma - to jest moje odchylenie standardowe
n - to liczba próbek
u_{\alpha} - wartość zmiennej losowej, która jest wzięta z tablicy rozkładu normalnego i tego właśnie nie rozumiem. Skąd to się wzięło? Jaką wartość powinienem przyjąć. Co prawda znalazłem pewną wskazówkę, która mówi, że dla mojego poziomu ufności powinno to być 2,58. Ale czemu? Jak korzysta się z tej tablicy. Rozumiem, że moich wartości powinienem szukać w kolumnie z wartością 0,01, bo 1-\alpha=1-0,99=0,01? Wartości w tablicy są wyliczane z pewnego wzoru, w którym jest moje "u". Skąd je wziąć?
Może niepotrzebnie zawracam sobie tym głowe, ale chciałbym wiedzieć co by było jakby poziom ufności wynosił 0,95? Domyślam się, że to co piszę to są podstawy, ale naprawde od bardzo dawna tego nie robiłem. Więc proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 cze 2012, o 09:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
39336.htm
Ogólnie o przedziałach ufności:
39338.htm
39346.htm
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 cze 2012, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Lublin
Wartości u_{\alpha} należy odczytywać z tablic, jednak wymaga to też odrobiny ostrożności. Najpierw ustalasz poziom istotności na jakim przychodzi Ci tworzyć przedziały ufności lub weryfikować hipotezy, w tym przypadku jest to \alpha = 0,01. Następnie sprawdzasz czy przedział jaki tworzysz, lub hipoteza jaką weryfikujesz jest dwustronna (w przypadku przedziałów ufności jest to dosyć oczywiste).

Zależność jest prosta: przedział dwustronny - wartość statystyki odczytywana dla 1- \frac{\alpha}{2}, natomiast dla przedziałów jednostronnych odczytujemy dla 1-\alpha.

Stąd też w Twoim przypadku odczytujesz wartość u_{\alpha} dla wartości 0,995 i jest ona równa 2,58.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 01:33 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Łódź
Dzięki koledzy! Już to załapałem, a przynajmniej mam taką nadzieję ;p Początkowo zmylił mnie też fakt, że miałem 2 różne tablice i nie wiedziałem za bardzo o co chodzi. Poniżej piszę rozpiszę jeszcze zadanie, i prosiłbym o sprawdzenie:

Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowych i otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346[MPa]. Przy założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową o rozkładzie N(\mu,\sigma) o nieznanych \mu \ i \ \sigma, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% realizację przedziału ufności dla \mu
A więc:
\mu to po prostu średnia, która wynosi: \overline{x}=344,9 i jest to pionowa oś będąca osią symetrii rozkładu Gaussa
\sigma to odchylenie standardowe: s=32,2
Z racji tego, że w zadaniu mam wyraźnie powiedziane, że nie znam \mu \ i \ \sigma muszę skorzystać z rozkładu t-Studenta. Ja utożsamiam \mu \ i \ \sigma ze średnią i odchyleniem. Jeśli tak nie jest proszę mnie poprawić. I tutaj trochę tego nie rozumiem, bo przecież jeśli mam dane próbki to mogę wyliczyć, więc czemu muszę korzystać z rozkładu t-Studenta. Ale dalej...
k=n-1 tu określam liczbę stopni swobody(n to liczba próbek)
następnie wyliczam t: \alpha = 0,05, dlatego przy liczbie stopni swobody 9 wartość t=2,262
Dalej wyznaczam przedział ufności ze wzoru:
(\overline{x}-t \frac{S}{ \sqrt{n-1}}<\mu<\overline{x}+t \frac{S}{ \sqrt{n-1}} )

320,62<\mu<369,18


Mam nadzieję, że zadanie jest dobrze zrobione, aczkolwiek jest kilka rzeczy, których jeszcze nie rozumiem. Oczywiście mam jeszcze sporo zadań do rozwiązania i to bardziej skomplikowanych, dlatego nie ukrywam, że liczę na pomoc w zrozumieniu tego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Lublin
Według mnie wszystko w porządku, tylko tak dla wyjaśnienia: \mu to średnia z populacji, natomiast \overline{x} to średnia z próby. Analogicznie jest z \sigma i S. Mając wyliczone parametry z próbki nie możesz wnioskować o tych z całej populacji.

Dochodzi jeszcze kwestia wyboru odpowiedniego modelu do konstrukcji przedziału ufności. Według moich notatek przy wzorze którego użyłeś widnieje coś takiego: "Rozkład cechy w populacji jest normalny N(\mu , \sigma) i \sigma nie jest znane." Czyli powinniśmy znać w tym przypadku średnią z populacji. Można wybrać inny model, w którym nie musimy znać ani \mu, ani \sigma, jednak znowu w tamtym przypadku musi zachodzić n>100. Sytuacja trochę patowa, ktoś bardziej obeznany mógłby się wypowiedzieć na ten temat.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Łódź
No ok to już mi trochę rozjaśniłeś sprawę. Mam jeszcze kilka zadań do rozwiązania. Oczywiście nie chce żebyś mi je robił, ale chciałem, jeśli oczywiście byś mógł trochę mnie nakierować jak zrobić dane zadanie. Niestety nie mam żadnych wykładów ani innych materiałów ze studiów, a zadania muszę rozwiązać.

Oto zadanie:

W pewnym doświadczeniu fizycznym mierzy się czas występowania określonego efektu świetlnego. Przeprowadzono 100 niezależnych doświadczeń nad tym efektem i zbiór wyników pogrupowano następująco:

\left| \frac{\mathrm{przedział \ czasu} \ ( x_{i}, x _{x+1})}{\mathrm{liczność} \ n_{i}} \right| \left  \frac{0-0,4}{20} \right|\left  \frac{0,4-0,8}{35} \right|\left  \frac{0,8-1,2}{15} \right|\left  \frac{1,2-1,6}{10} \right|\left  \frac{1,6-2,0}{20} \right|

Przyjmując współczynnik ufności 1-\alpha=0,9 oszacować czas trwania badanego efektu.

Nie wiem czy dobrze myślę, ale współczynnik ufności jest dla przedziału jednostronnego...ale mogę się mylić? Jak obliczyć średnią i odchylenie? Nie wiem czy dobrze kombinuje, ale z danego przedziału powinienem obliczyć medianę i pomnożyć to przez liczebność przedziału, a następnie zsumować to co wyszło z każdego przedziału i podzielić przez całość zbiorowości, tj. 100. Tak? Potem chyba powinienem dobrać z tablic dla rozkładu t-studenta współczynnik t dla 99 stopni swobody. Czy tak?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 20:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
Nie masz powiedziane czy ma to być przedział jednostronny, więc zawsze liczysz obustronny - tak samo z testami.
Do obliczenia średniej i odchylenia obserwacjom przypisujesz środki przedziałów (więc masz 20 obserwacji o wartości 0,2 itd.).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Lublin
Wyliczasz średnią i odchylenie w sposób jaki podpowiedział kolega powyżej. Następnie pozostaje skonstruowanie 90-procentowego przedziału ufności w oparciu o te dane.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 cze 2012, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Łódź
Nom oki to już wiem kolejną rzecz. Nom to dobrze myślałem co do średniej;) Poniżej moje wyliczenia i rozwiązanie zadania. Proszę o sprawdzenie...
\overline{x} = 0,9\\
s=0,564\\
t=1,290\\
0,827<\mu<0,973
Nie pisałem już wszystkich wyliczeń. Prosiłbym o sprawdzenie współczynnika t(ew. średniej i odchylenia), oczywiście jeśli chodzi o wyliczenie przedziału to korzystałem z tego samego wzoru co w poprzednim zadaniu dla rozkładu t-Studenta.

-- 24 cze 2012, o 23:27 --

Cześć koledzy mam dwa zadania, które rozwiązałem. Czy moglibyście sprawdzić czy dobrze je rozwiązałem, gdyż chciałbym mieć pewność, że dobrze zrozumiałem materiał?

Zadanie 1

W pewnym przedsiębiorstwie transportowym wylosowano niezależnie 7 samochodów 16-tonowych, dla których współczynnik gotowości technicznej(w %) był następujący: 79, 76, 74, 78, 73, 70, 75. Wiadomo, że współczynnik gotowości technicznej ma rozkład normalny. Przyjąć współczynnik ufności 1-\alpha=0.9 i oszacować przedziałowo wariancję współczynnika gotowości technicznej.

Tak więc...

Do zadania będzie mi potrzebne wyliczenie wariancji oraz średniej:
Średnia

\overline{x}=75

Wariancja

S^2= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2=8

W dalszej części zadania korzystam ze wzoru:

\left( \frac{nS^2}{X^2_{(n-1, 1- \frac{\alpha}{2})}}; \frac{nS^2}{X^2_{(n-1,\frac{\alpha}{2})}}\right)

Do tego korzystam z tablic dla rozkładu chi-kwadrat?!Jeśli dobrze odczytałem wartości to wynoszą one:
Odczytane wartości(proszę o sprawdzenie):

Dla X^2_{(n-1, 1- \frac{\alpha}{2})}= 4.507

Dla X^2_{(n-1,\frac{\alpha}{2})}=5.348

Wynik moich wyliczeń:

(12.43;10.47)
Tu mi się nie podoba, bo skoro to przedział to moje obliczenia powinny mieć odwrotną kolejność(ale mogę się mylić).
I pytanie czy jest jakiś sposób na połapanie się w tych tablicach? Ze szkoły mam inną wersję niż znalazłem na forum. Sposób zapisu w obu różni się między sobą. W jednym zamiast \alpha jest p, ale to przecież to samo. Tyle, że w wierszu nagłówkowym np dla mojego zadania jest poprostu 0.9, a dla drugiego 0.1 i już kilka razy się na tym złapałem. Czy jest różnica między tym p a \alpha?

Zadanie 2

Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę (w tyś. zł) mają rozkład normalny, wylosowano do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
wydatki na reklamę&0-5&5-10&10-15&15-20\\ \hline
liczba zakładów&10&20&40&30\\ 
\end{tabular}
Oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe wydatków na reklamę na poziomie ufności 1-\alpha=0.98

Tak więc, żeby obliczyć wartości dla przedziałów będą mi potrzebne: odchylenie standardowe i średnia:
Średnia:

\overline{x}=10

Odchylenie standardowe:

S=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2}=5.59

Korzystam z następującego wzoru:

\left( \frac{2\sqrt{2n}}{\sqrt{2n-3}+u_{1- \frac{\alpha}{2} }}}; \frac{2\sqrt{2n}}{\sqrt{2n-3}-u_{1- \frac{\alpha}{2} }}}\right)

Moje u_{1- \frac{\alpha}{2} }=2.05 (proszę o sprawdzenie)

Tak więc: (8.36;4.26)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 sty 2016, o 17:15 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: BB
Pozwolę sobie odkopać ten antyczny temat bo czuje że nie do końca został wyczerpany.

Cytuj:
Przy założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową o rozkładzie N(\mu,\sigma) o nieznanych \mu i \sigma, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% realizację przedziału ufności dla \mu

Cytuj:
Według moich notatek przy wzorze którego użyłeś widnieje coś takiego: "Rozkład cechy w populacji jest normalny N(\mu , \sigma) i \sigma nie jest znane." Czyli powinniśmy znać w tym przypadku średnią z populacji. Można wybrać inny model, w którym nie musimy znać ani \mu, ani \sigma, jednak znowu w tamtym przypadku musi zachodzić n>100. Sytuacja trochę patowa, ktoś bardziej obeznany mógłby się wypowiedzieć na ten temat.


Jak to w takim razie jest? Rozwiązałem już kilka zadań tego rodzaju ale pierwszy raz chyba widzę aby \mu było nie znane. Czy to zadanie zostało rozwiązane w pełni poprawnie?

EDIT
Jeszcze jedno pytanie. W kolejnym zadaniu pojawia się odpowiedź 0,827<\mu<0,973 Dlaczego miało by to być akurat \mu? Który fragment zadania wskazuje że tam nie będzie np m, \sigma albo cokolwiek innego tylko \mu?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przedział ufności - zadanie 3  piotrekszy  1
 przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci  ziomalok19  2
 Przedziały ufności - zadanie 9  Ezi  6
 Pytania- przedziały ufności, błąd bezwzględny, wariancja  lukasson22  5
 Przedział ufności - zadanie 13  ewa987  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl