szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 22 maja 2012, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Lublin
zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie i w przypadku zbieżności obliczyć jego granicę:

1.) \begin{cases}  a_{1}= \sqrt{3}  \\ a_{n+1}= \sqrt{ a_{n} + 3 }  \end{cases}

Najpierw sprawdzam monotonicznosc:
1)  a_{1}=  \sqrt{3}
a_{2}=  \sqrt{ \sqrt{3}+3 }

nie bd juz pisac jak udowodnilam, ze a_{2} >  a_{1}

2)  Z: n
a_{n+1} >  a_{n}

3)  T:n +1
a_{n+2} >  a_{n+1}

na mocy indukcji udowodnilam tezę i stwierdzilam, że ciag jes rosnacy.

wiec dalej sprawdzam, czy jest ograniczony.rozpisuje sobie "na boku"

g^{2}- g-3=0

z tego rownania wychodzą mi dwa rozwiazania:

g_{1}=  \frac{1- \sqrt{13} }{2}
g_{2} =  \frac{1+ \sqrt{13} }{2}

biorę pod uwagę drugi wynik, bo jest to ciag rosnacy. wydaje mi się, że a_{1} wyznacza, tak jakby te dolne ograniczenie. nie wiem czy w dobrym kierunku myslę.

wiec znow na mocy indukcji:

1) n=1

a_{1} < \frac{1+ \sqrt{13} }{2}

2) Z:n

a_{n}<  \frac{1+ \sqrt{13} }{2}

3) T: n+1

a _{n+1} <  \frac{1+ \sqrt{13} }{2}

Z zalożenia: a_{n}<   \frac{1+ \sqrt{13} }{2} // dodaje 3

a_{n} +3<  \frac{1+ \sqrt{13} }{2} +3 //pierwiastkuję

\sqrt{a_{n} +3}  <   \sqrt{\frac{1+ \sqrt{13} }{2} +3 }

i wychodzi mi : \sqrt{a_{n} +3} <  \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }

i nie wyszlo mi jak w tezie. zastanawiam się, czy ograniczenie zawsze musi byc takie same jak granica ciagu??

mam jeszcze jedno pytanie. jezeli wyjdzie mi, ze ciag jest jednak malejacy to, czy wtedy po obliczeniu g rozpatruję ten największy wynik? czy moze najmniejszy?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 maja 2012, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
kkasia559 napisał(a):
rozpisuje sobie "na boku"
g^{2}- g-3=0
A skąd takie równanie?

Q.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 maja 2012, o 17:44 
Gość Specjalny

Posty: 3044
Lokalizacja: Gołąb
kkasia559, to w końcu jak:
a _{n+1} = \sqrt{ a_{n}+6 } czy a _{n+1} = \sqrt{ a_{n}+3 }?
Bo napisane jest jedno a liczysz dla drugiego
Góra
Kobieta
PostNapisane: 22 maja 2012, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Lublin
juz poprawilam, sory.

-- 22 maja 2012, o 18:00 --

\lim_{n}  a_{n} = \lim_{n}  a_{n+1}= g

wiec a _{n+1} =g

g^{2} = g +3
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 maja 2012, o 23:40 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
kkasia559, równania, o którym wspomina , nie możesz napisać dopóki nie stwierdzisz, że ten ciąg ma granicę.
Góra
PostNapisane: 22 maja 2012, o 23:43 
Użytkownik
Cytuj:
rozpisuje sobie "na boku"


Koleżanka napisała
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 maja 2012, o 23:55 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
A racja, przepraszam.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 maja 2012, o 00:52 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ok, po poprawieniu treści Twoje rachunki są poprawne (choć niekoniecznie najszybsze).
kkasia559 napisał(a):
i wychodzi mi : \sqrt{a_{n} +3} <  \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }
i nie wyszlo mi jak w tezie.
Wyszło:
\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }=\sqrt{ \frac{14+ 2\sqrt{13} }{4} }=\sqrt{ \frac{(1+\sqrt{13})^2}{4} }=\frac{1+ \sqrt{13} }{2}

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg rekurencyjny - zadanie 41  karol235  3
 ciąg rekurencyjny  Gobol  2
 ciąg rekurencyjny - zadanie 14  Rafix_  11
 ciąg rekurencyjny - zadanie 3  robin5hood  1
 Ciąg rekurencyjny - zadanie 40  Shadowaty  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl