szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 12 mar 2012, o 10:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18636
Lokalizacja: Cieszyn
Niech X będzie zmienną losową. W literaturze istnieją dwie równoprawne (ale - jak zaraz zobaczymy - nie równoważne) definicje dystrybuanty. Niech x\in\mathbb{R}. Określmy

F_<(x)=P(X<x)\,,\qquad F_{\le}(x)=P(X\le x)\,.

Z tej definicji widać natychmiast, że obie funkcje są niemalejące.

Mamy oczywiście

F_{\le}(x)=P(X\le x)=P(X<x)+P(X=x)=F_<(x)+P(X=x)\,.

Dla zmiennych losowych ciągłych obie funkcje są więc identyczne, gdyż dla każdego x\in\mathbb{R} mamy P(X=x)=0. Ponadto dystrybuanta jest wtedy funkcją ciągłą.

Inaczej jest dla zmiennych losowych skokowych (dyskretnych), gdzie prawdopodobieństwa przyjmowania przez te zmienne konkretnych wartości mogą być niezerowe. Funkcja F_< jest lewostronnie ciągła, a funkcja F_{\le} jest prawostronnie ciągła.

Przykład. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów. Zmienna losowa X ma następujący rozkład:

$
\begin{tabular}{|c|c|}
  \hline
   Liczba orłów&Prawdopodobieństwo\\
   $x_i$&$p_i$\\\hline
   $0$&$0.25$\\
   $1$&$0.50$\\
   $2$&$0.25$\\\hline
 \end{tabular}

Wyznaczymy obie dystrybuanty. Najpierw niech x<0. Wtedy P(X\le x)=0, więc tym bardziej P(X<x)=0 i F_<(x)=F_{\le}(x)=0. Niech teraz x=0. Wtedy F_<(x)=F_<(0)=P(X<0)=0, ale F_{\le}(x)=F_{\le}(0)=P(X\le 0)=P(X<0)+P(X=0)=0.25.

Niech 0<x<1. Mamy F_<(x)=P(X<x)=P(X=0)=0.25. Druga dystrybuanta ma wartość F_{\le}(x)=P(X\le x)=P(X=0)=0.25. Ale sytuacja zmienia się dla x=1: F_<(1)=P(X<1)=P(X=0)=0.25 wobec F_{\le}(1)=P(X=0)+P(X=1)=0.25+0.50=0.75.

Rozumując podobnie dla 1<x<2, x=2 oraz x>2, dochodzimy do postaci obu dystrybuant. Sporządzimy ich wykresy.

$\footnotesize
 \begin{tikzpicture}[>=stealth,thick]
  \draw[gray!50,step=0.5] (-2.5,-0.5) grid (4,1.5);
  \draw[->] (-2.5,0)--(4,0) node[right,below]{$x$};
  \draw[->] (0,-0.5)--(0,1.5) node[right]{$y$};
  \draw (0.1,1)--(0,1) node[left]{$1.00$};
  \draw (0.1,0.75)--(0,0.75) node[left]{$0.75$};
  \draw (0.1,0.50)--(0,0.50) node[left]{$0.50$};
  \draw (0.1,0.25)--(0,0.25) node[left]{$0.25$};
  \node[below] at (0.1,0) {$0$};
  \draw (1,0.1)--(1,0) node[below]{$1$};
  \draw (2,0.1)--(2,0) node[below]{$2$};
  \draw[green!40!black] (-2.5,0)--(0,0);
  \fill[green!40!black] (0,0) circle(2pt);
  \draw[green!40!black] (0,0.25) circle(2pt) (2pt,0.25)--(1,0.25);
  \fill[green!40!black] (1,0.25) circle(2pt);
  \draw[green!40!black] (1,0.75) circle(2pt) (1cm+2pt,0.75)--(2,0.75);
  \fill[green!40!black] (2,0.75) circle(2pt);
  \draw[green!40!black] (2,1) circle(2pt) (2cm+2pt,1)--(4,1) node[below]{$y=F_<(x)$};
 \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick]
  \draw[gray!50,step=0.5] (-2.5,-0.5) grid (4,1.5);
  \draw[->] (-2.5,0)--(4,0) node[right,below]{$x$};
  \draw[->] (0,-0.5)--(0,1.5) node[right]{$y$};
  \draw (0.1,1)--(0,1) node[left]{$1.00$};
  \draw (0.1,0.75)--(0,0.75) node[left]{$0.75$};
  \draw (0.1,0.50)--(0,0.50) node[left]{$0.50$};
  \draw (0.1,0.25)--(0,0.25) node[left]{$0.25$};
  \node[below] at (0.1,0) {$0$};
  \draw (1,0.1)--(1,0) node[below]{$1$};
  \draw (2,0.1)--(2,0) node[below]{$2$};
  \draw[red!50!black] (-2.5,0)--(-2pt,0) (0,0) circle(2pt);
  \fill[red!50!black] (0,0.25) circle(2pt);
  \draw[red!50!black] (2pt,0.25)--(1cm-2pt,0.25) (1,0.25) circle(2pt);
  \fill[red!50!black] (1,0.75) circle(2pt);
  \draw[red!50!black] (1cm+2pt,0.75)--(2cm-2pt,0.75) (2,0.75) circle(2pt);
  \fill[red!50!black] (2,1) circle(2pt);
  \draw[red!50!black] (2cm+2pt,1)--(4,1) node[below]{$y=F_{\le}(x)$};
 \end{tikzpicture}


Funkcja F_{\le} bardziej odpowiada temu, co w statystyce opisowej nazywamy częstościami skumulowanymi. Mianowicie utożsamiając wartości zmiennej losowej skokowej z wartościami badanej w statystyce cechy, wartości dystrybuanty F_{\le} w punktach skoków są częstościami skumulowanymi wartości cechy. Być może dlatego niektóre podręczniki statystyki preferują nazywać dystrybuantą funkcję F_{\le} (np. Jóźwiak, Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE Warszawa, 2000).

Widzimy, że dystrybuanty F_< i F_{\le} różnią się tylko w punktach skoków. Ma to jednak swoje konsekwencje.

Wróćmy na moment do dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej (oznaczmy ją teraz przez F). Otóż mamy

$\[P(a<X<b)=P(a\le X<b)=P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).\]

I znów dla zmiennych losowych skokowych notujemy inne zachowanie. Niech f(x_+) oznacza granicę prawostronną funkcji f w punkcie x. Przez f(x_-) oznaczymy granicę lewostronną. Ponieważ obie dystrybuanty F_< i F_{\le} są monotoniczne, więc mają w każdym punkcie obie granice jednostronne. Można zauważyć, że

F_{\le}(x)=F_<(x_+)\,,\qquad F_<(x)=F_{\le}(x_-)\,.

Zachodzą następujące wzory:

\begin{aligned}
 P(a<X<b)&=F_<(b)-F_{\le}(a)=F_<(b)-F_<(a_+)=F_{\le}(b_-)-F_{\le}(a)\\
 P(a\le X<b)&=F_<(b)-F_<(a)=F_{\le}(b_-)-F_{\le}(a_-)\\
 P(a<X\le b)&=F_{\le}(b)-F_{\le}(a)=F_<(b_+)-F_<(a_+)\\
 P(a\le X\le b)&=F_{\le}(b)-F_<(a)=F_<(b_+)-F_<(a)=F_{\le}(b)-F_{\le}(a_-)
\end{aligned}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariancja zmiennej losowej i jej własności.  mlody3k  0
 Wartość oczekiwana zmiennej losowej  Emiel Regis  0
 Znaleźć dystrybuantę zmiennej X  Gancus  0
 Prawdopodobieństwo zmiennej losowej - zadanie 3  kernelek  1
 Granica ciągu z definicji. - zadanie 2  klapej  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl