szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18636
Lokalizacja: Cieszyn
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,\sigma) z wartością średnią m i odchyleniem standardowym \sigma. Wtedy zmienna losowa

U=\frac{X-m}{\sigma}

ma standardowy rozkład normalny N(0,1). Oznaczmy jego dystrybuantę przez \Phi. Jest ona stablicowana. Zachodzi też wzór \Phi(-u)=1-\Phi(u).

Zachodzą następujące wzory:

  1. P(X<a)=P\left(\dfrac{X-m}{\sigma}<\dfrac{a-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)

  2. P(X\ge b)=1-P(X<b)=1-\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(-\dfrac{b-m}{\sigma}\right)

  3. P(a\le X< b)=\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)

Wszystkie występujące powyżej nierówności można dowolnie zamieniać na silne bądź słabe, wedle potrzeb.

Przykład. W pewnym kinie frekwencja na seansie filmowym ma rozkład normalny z wartością średnią 120 widzów i odchyleniem standardowym 40 widzów. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń a) na seans przyjdzie co najwyżej 100 widzów, b) na seans przyjdzie co najmniej 180 widzów, c) liczba widzów na seansie leży pomiędzy 80 a 150.

Niech X oznacza liczbę widzów na seansie. Zmienna losowa X ma rozkład N(120,40), a więc m=120, \sigma=40.

ad a)

P(X\le 100)=\Phi\left(\frac{100-120}{40}\right)=\Phi(-0.5)=1-\Phi(0.5)=1-0.6915=0.3085


ad b)

P(X\ge 180)=1-\Phi\left(\frac{180-120}{40}\right)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668


ad c)

\begin{aligned}
 P(80\le X\le 150)&=\Phi\left(\frac{150-120}{40}\right)-\Phi\left(\frac{80-120}{40}\right)=\\
 &=\Phi(0.75)-\Phi(-1)=\Phi(0.75)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=\\
 &=0.7734-\bigl(1-0.8413\bigr)=0.7734-0.1587=0.6147
\end{aligned}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym  stanley12  1
 urny i kule, równość prawdopodobieństw  davidd  7
 obliczanie calek przez podstawianie  nupel  3
 Obliczanie pochodnej f-cji. Proste zadanie.  Anonymous  2
 Metody Numeryczne obliczanie sumy jednokrotne użycie funkcji  xc1tnpwn  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl