szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 22 gru 2011, o 00:51 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Gdansk
Bardzo proszę o pomoc w zadaniach:
Zad 1. Ile wynosi okres małych drgań kulki A w układzie złożonym z wahadła matematycznego i nieważkiej sprężyny (rys.)? Osobno wahadło matematyczne ma okres małych drgań T_1, a kulka A podwieszona tylko do sprężyny ma okres drgań T_2.

Obrazek

Zad 2. Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili t = 0 ciało A zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna spadać w głąb tunelu z odległości r = \frac{R_Z}{2} od środka Ziemi. Obliczyć czas t, po którym ciała się spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia jest jednorodną kulą o promieniu R_Z = 6400 km.

Wyniki mają wyjść odpowiednio:
Zad1: T= \frac{T_1 \cdot T_2}{ \sqrt{T_1 ^{2} + T_2 ^{2} } }
Zad2: Miejscem spotkania jest środek Ziemi. t=  \frac{ \pi }{2} \cdot  \sqrt{ \frac{R_Z}{g}}

Odnośnie pierwszego zadania to próbowałam wyjść z równań na okres w oscylatorze harmonicznym, oraz w wahadle matematycznym, lecz nie dało to rezultatu.

W drugim zadaniu wydaje mi się, że ciało B które będzie spuszczone ze środka Ziemi będzie stało w miejscu, ponieważ nie będzie działała na niego żadna siła, a ciało A będzie poruszać się ruchem harmonicznym. Spotka się z ciałem B w środku Ziemi, ponieważ będzie to \frac{1}{4} jego okresu, więc:
\frac{1}{4} \cdot 2 \pi  \cdot  \sqrt{ \frac{l}{g} }
Jednak są to tylko moje rozmyślania. Bardzo proszę o podpowiedzi do tych zadań. Dziękuje :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 gru 2011, o 14:59 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
W pierwszym zadaniu sytuacja jest analogiczna do tej, z którą można się spotkać w zadaniu z szeregowym połączeniem dwóch sprężyn. Tak przynajmniej sugeruje wynik, choć na moje oko poprawniej jest skorzystać z równoległego połączenia, bo wychylenie dla sprężyny i wahadła jest jednakowe.

Z kolei w drugim należy zauważyć, że oba ciała będą poruszać się ruchem harmonicznym o tym samym okresie, ale różnej amplitudzie.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 24 gru 2011, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Gdansk
Nadal, nie mogę dojść do powyższych rozwiązań. Myślę jednak, że nie wymagają one jakiś skomplikowanych działań, jest to zadanie z I roku studiów. Bardzo bym prosiła o jak najbardziej "trywialne" rozwiązanie.
Czy w zadaniu drugim, ciało B będzie się poruszać?. Przecież nie działa na niego grawitacja...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 gru 2011, o 23:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6499
Lokalizacja: Kraków
aussie napisał(a):
Przecież nie działa na niego grawitacja...

Dlaczego ?
Góra
Kobieta
PostNapisane: 26 gru 2011, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Gdansk
No właśnie nie jestem pewna. Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, przecież grawitacja od środka działa...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2011, o 21:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6499
Lokalizacja: Kraków
To w takim razie pod wpływem jakiej siły miałaby się poruszać te ciała ?

Przypomnij sobie zależność siły grawitacji od odległości od środka kuli przy założeniu, że ta odległość jest mniejsza od promienia tej kuli.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 29 gru 2011, o 18:57 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Gdansk
Nadal borykam się z tym zadaniem. Jednak zauważyłam że z zależności: \omega _{1} ^{2}+\omega _{2} ^{2}= \omega _{3} ^{2}
po przekształceniu wychodzi:
\frac{4 \pi }{T _{1} ^{2}}+\frac{4 \pi }{T _{2} ^{2}}=\frac{4 \pi }{T _{3} ^{2}}

\frac{T _{1} ^{2}+T _{2} ^{2}    }{T _{1} ^{2}  \cdot T _{2} ^{2}  } =  \frac{1}{T _{3} ^{2}  }

T _{3}= \frac{T _{1} \cdot T _{2}  }{ \sqrt{T _{1} ^{2}+T _{2} ^{2}    }  }

Czyli wychodzi tyle ile w odpowiedzi. I teraz moje pytanie, czy jest to zbieg okoliczności, czy rzeczywiście zachodzą pewne związki między tymi ruchami. Jeżeli tak, to jakie?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 sty 2012, o 00:32 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3358
Lokalizacja: Warszawa
No więc generalnie zwrot "małe drgania" implikuje założenie, że kulka poruszać się będzie w przybliżeniu poziomo. Jeśli wahadło się się odchyli o kąt \alpha to wartość składowej ciężaru stycznej do toru będzie wynosiła: mg\sin{\alpha}. Sinus można zastąpić stosunkiem x/l, gdzie x to wychylenie kulki mierzone w poziomie. No i właśnie dla małych kątów możemy przyjąć, że długość łuku jaki zakreśli wahadło niewiele się różni od tego naszego odcinka. No i dalej, skoro wahadło przesunęło się w 'poziomie' o x no to sprężyna się trochę ścisnęła, więc zadziała siłą przeciwnie skierowaną do wychylenia, o wartości kx. Zapiszmy jednowymiarowe równanie ruchu:
m\ddot{x}=-mgx/l-kx
czyli:
m\ddot{x}+mgx/l+kx=0
\ddot{x}+gx/l+kx/m=0
\ddot{x}+(\omega_1^2+\omega_2^2)x=0
gdzie: \omega_1^2=g/l i \omega_2^2=k/m
Można to oczywiście zastąpić jedną omegą z indeksem 3, która tak samo zależy od czasu jak pozostałe, co wynika wprost z matematycznego przedstawienia fizycznej definicji okresu. Dalej to myślę, że sobie poradzisz :) Jak ktoś lubi to może z równań Eulera-Lagrange, tylko w ogólności tracimy w pewnym sensie 'jednowymiarowość' zapisu, czego nie lubimy :)

A odpowiedzi na postawione wyżej pytanie jednoznacznie udzielić się nie da. Z pewnością ten związek częstości jest pewną 'regułą' dla pewnej klasy układów drgających w jednym wymiarze, dla których siły da się przybliżać liniowo w x. Pytanie tylko czy tych sił jest aż tak dużo by w ogóle był sens tą 'regułą' sobie zaprzątać głowę :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 drgania harmoniczne - zadanie 9  pakt  2
 Drgania harmoniczne - zadanie 11  hatake00  2
 Drgania harmoniczne - zadanie 10  Madridista92  1
 drgania harmoniczne - zadanie 5  Za?amka  3
 drgania harmoniczne - zadanie 14  alkiii123  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl