szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 30 paź 2011, o 01:11 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Nowy Sącz
Polecenie:
Cytuj:
Znaleźć logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego o długości d, jeśli po czasie\tau jego energia zmniejszyła się n razy.


Nie rozumiem po co mi ten dekrement tłumienia i jak go używać. Przeczytałem na wikipedii iż jest to iloraz dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym. Będę niezwykle wdzięczny za wytłumaczenie idei.

Prawdziwy jest związek:
E_k=n E_o

Częstość własna wahadła matematycznego:
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{d}}

Dla ruchu harmonicznego prawdziwa jest zależność:
\Lambda = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}T_t
T_t - okres drgań tłumionych
1. Skąd mam pewność, że ruch jest harmoniczny?
2. Energię początkową policzę, jeśli znajdę maksymalną amplitudę, tą na początku, dla czestości własnej.

Znam jeszcze zależność:
\Lambda = \ln{\frac{A_n}{A_{n+1}}}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 paź 2011, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 727
Logarytmiczny dekrement tłumienia \lambda:

\lambda = ln \frac{A\left( t\right)}{A\left( t + T\right) } = \beta T

Znając logarytmiczny dekrement tłumienia, w wyniku badania kolejnych amplitud, można wyznaczyć współczynnik tłumienia \beta:

\beta = \frac{\lambda}{T},

a stąd, znając masę m drgającego układu, można wyznaczyć wartość oporu ośrodka r:

\beta =  \frac{r}{2m} \ \ \  \Rightarrow \ \ \ r = \beta \cdot 2m = \frac{\lambda}{T} \cdot 2m
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 paź 2011, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Nowy Sącz
Niestety, to co napisałeś nie prowadzi mnie w żaden sposób w kierunku rozwiązania - ale przynajmniej wiem po co się tego używa.

1. Przy okazji, czym jest właściwie ten ośrodek tłumienia w odniesieniu do równania ruchu tłumionego?
Czy jest to \beta = \Gamma z równania:
\frac{d^2 x(t)}{dt^2}+\Gamma\frac{d x(t)}{dt} + \omega_0^2 x = 0
A może?
\beta = \frac{\Gamma}{2}

2. Wracając do zadania, którego po prostu nie ogarniam.
Poszukuje logarytmicznego dekrementu tłumienia znając czas trwania ruchu \tau oraz wiedząc, że:
E_k = n E_o oraz znając długość wahadła d.

\Lambda = \beta T

Znalazłem następujący wzór na ampltudę po czasie t:
A(t) = A_0 e^{-\beta t}
A(0)=A_0
A(k)=A_0 e^{-\beta \tau}

Wzór na energię:
E=\frac{kA^2}{2}
Po podstawieniu:
\frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta \tau} = n \frac{k}{2} A_0^2
\beta = \frac{\ln{n}}{-2 \tau}
3. Czy współczynnik tłumienia \beta może być ujemny?

Wracam do głównego równania:
\Lambda = 2 \pi \frac{\beta}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}
\omega_0 = \frac{d}{g}

4. Czy dobrze policzone \beta oraz co zrobić z \Gamma?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 paź 2011, o 02:42 
Użytkownik

Posty: 727
Mam już wszystko rozpykane, teraz to co zajęło mi na kartce 3 minuty, muszę w LateX-ie wstukać pewnie z 20 minut, ale już nie dziś. Mam nadzieję, że to nic pilnego i możesz poczekać 1 - 2 dni.

Uwaga: czas \tau to w dganiach czas, po którym amplituda maleje e razy, więc nie możemy go tak sobie używać tego symbolu dowolnie - ja ten czas oznaczyłem sobie t _{1}.

-- 31 paź 2011, o 11:46 --

1. Ośrodkiem tłumienia jest ośrodek, w ktorym układ wykonuje drgania (powietrze, woda, olej, itp.).

Tylko \Gamma = 2 \beta.


2. Równanie

\frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta t _{1}} = n \frac{k}{2} A_0^2

jest złe, bo "n" powinno być po przeciwnej stronie, albo zamiast "n" musi być "1/n":


\frac{k}{2}A_0^2 e^{-\beta \left( t + t _{1}\right) } =  \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{2} A_0^2 \cdot e ^{- \beta t}

A_0^2 e^{-2\beta t} \cdot e^{-2\beta t _{1}} = \frac{1}{n} A_0^2 \cdot e ^{- 2\beta t}

A_0 e^{-\beta t} \cdot e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}} A_0 \cdot e ^{- \beta t}

e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}}

-\beta t _{1} = \ln \frac{1}{ \sqrt{n}}

-\beta t _{1} = -  \frac{1}{2} \ln n \ \ \  \Rightarrow \ \ \ \beta = \frac{\ln n}{2t _{1}}


3. Musi być dodatnia wartość współczynnika tłumienia \beta.


4. Logarytmiczny dekrement tłumienia \lambda:

\lambda = \beta  \cdot T = \frac{\ln n}{2t _{1}}  \cdot  2 \pi \sqrt{ \frac{d}{g} } = \frac{\ln n}{t _{1}}  \cdot \pi \sqrt{ \frac{d}{g} }
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 paź 2011, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Nowy Sącz
Dzięki, za zwrócenie uwagi i znalezienie błędu. W sumie bardzo drobny był. :oops:

Moim zdaniem zrobiłeś błąd w etapie 4 wstawiając za T okres drgań własnych, a nie okres drgań tłumionych. Mi wyszło z odpowiedziami, gdy wstawiłem okres drgań tłumionych. Według wikipedii powinien być okreś drgań tłumionych, którego częstość:
\omega=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}

Ale i tak bardzo dziękuję, ponieważ to już mi się po mału rozjaśnia - podpowiedź w 1 poście, że można to użyć do wyznaczenia oporu ośrodka naprawdę bardzo wartościowa.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 paź 2011, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 727
Racja, wpisałem zły okres, dla nietłumionych drgań. Spojrzałem w skrypcie stronę dalej, na drgania wymuszone i pulsację rezonansową

\omega _{rez} = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \cdot  \beta^2} .

Powinno być tak :

\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\left( 2\beta\right)^2}{4}} = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}

a wtedy \beta wyznaczyć musimy z równania:

2 \pi \cdot \frac{\beta}{\lambda} =  \sqrt{4 \pi  ^{2} \cdot \frac{g}{d} - \beta^2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 logarytmiczny dekrement tłumienia  devaitis  0
 Logarytmiczny dekrement tłumienia - zadanie 8  olabogaretyojej  1
 Logarytmiczny dekrement tłumienia - zadanie 9  konradpros  7
 Logarytmiczny dekrement tłumienia - zadanie 2  martino_87  1
 Logarytmiczny dekrement tłumienia - zadanie 6  omega08  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl