szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2011, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Kraków
Ostatnie trzy zadania - część matematyczna:

7. Niech f:[1,+ \infty ) \rightarrow \left( 0,+ \infty \right) będzie funkcją ciągłą.
Zakładamy, że \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x) dla każdego x \ge 1.
Wykazać, że f(x) \ge  \frac{1}{2} (x-1).

8. Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji \left\{ f_n,n \ge 1\right\} na [0,1] taki, że:
1) każda f_n jest niemalejąca (ale nie musi być ciągła),
2) f(t)=\lim_{n \rightarrow + \infty }f_n(t) dla każdego t \in [0,1].
3) f jest ciągła
Wykazać, że \left\{ f_n, n \ge 1\right\} zbiega do f jednostajnie.

9. Rozważmy równanie zwyczajne
\dot{x}^{\epsilon} = - x^{\epsilon} \ln |x^{\epsilon}|, \quad x^{\epsilon}(0)= \epsilon.
Zbadaj zachowanie rozwiązań x^{\epsilon} dla \epsilon \rightarrow 0^+. Czy x^{\epsilon}(t) \rightarrow 0 dla t > 0, jeśli tak to w jakiej normie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2014, o 18:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
W zadaniu 8 podziel przedział [0,1] na N przedziałów o długości:

\frac{1}{N}<\delta , x_{0},x_{1},x_{2},...x_{N} są końcami tych przedziałów

Wybierzmy teraz n_{0}
Tak aby: |f_{n}(x_{i})-f(x_{i})|<\lambda dla n>n_{0}

Dodajmy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na [0,1]

Więc spełnia warunek:

istnieje taka \lambda ,że dla |x-y|<\delta to |f(x)-f(y)|<\lambda

jeśli teraz x \in [0,1] to x \in [x_{i},x_{i+1}]


funkcja f jest niemalejąca jako ciąg funkcji niemalejących

f(x_{i}) \le f(x) \le f(x_{i+1}) ,

f(x_{i})-\lambda \le f_{n}(x_{i}) \le f_{n}(x) \le f_{n}(x_{i+1}) \le  f(x_{i})+\lambda

bo:f(x),f_{n}(x) należą do przedziału


o końcach: f(x_{i})-\lambda,  f(x_{i})+\lambda

Odstępy między punktami x_{i} są mniejsze niż \delta
Więc można dobrać \lambda do \delta,

Teraz widać że fi f_{n} dla dostatecznie dużych n leżą dowolnie
blisko siebie. Bo zarówno f(x)i f_{n}(x) należą do przedziału:

Można to było zgrabniej pewnie, korzystałem z tego, że f jest jednostajnie ciągła na [0,1]

Poprawiłem..

W zadaniu 7 wystarczy zróżniczkować stronami i mamy banalne równanie różniczkowe.

Ha ha to różniczkujmy nierowność
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2014, o 20:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
arek1357 napisał(a):
f(x_{i})-\lambda<f_{n}(x_{i})<f_{n}(x)<f_{n}(x_{i+1})< f(x_{i})+\lambda

Ostatnia nierówność nie została w żaden sposób skomentowana.

arek1357 napisał(a):
Teraz widać że fi f_{n} dla dostatecznie dużych n leżą dowolnie
blisko siebie.

No ja nie widzę. Szczególnie, że masz wyżej nierówności na końcach przedziałów podziału, a nie dla dowolnego x.

Poza tym wszędzie piszesz nierówności ostre, co oczywiście jest niepoprawne.

arek1357 napisał(a):
W zadaniu 7 wystarczy zróżniczkować stronami i mamy banalne równanie różniczkowe.

A skąd dostaniesz to równanie, gdy w zadaniu 7. nie ma żadnej równości?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 10:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 751
Lokalizacja: Warszawa
7. Niech F(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt będzie funkcją pierwotną, wtedy F' \geqslant F^{1/2}. Oznaczmy pomocniczo G = F^{1/2}, wtedy G' \geqslant \frac 12, skąd f(x) \geqslant G(x) \geqslant \frac 12 (x-1).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [studia] Politechnika Warszawska  Nostry  162
 [studia] Uniwersytet Łódzki  Nostry  0
 [studia] Uniwersytet Szczeciński  Nostry  0
 [studia] Politechnika Wrocławska  Nostry  18
 [studia] Uniwersytet Rzeszowski  Nostry  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl