szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2011, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Kraków
Trzy zadania z części "matematyka":

4. Niech f:R \rightarrow \left( 0,+ \infty \right) będzie funkcją ciągłą taką, że f(x+1)=f(x). Pokazać, że dla dowolnej liczby \alpha \in \left( 0,1\right) zachodzi :

\int_{0}^{1}  \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \ge 1

5. Rozwiąż równanie x^2=2 \cdot y^2+1 w liczbach naturalnych

6. Niech f:R \rightarrow R będzie funkcją ciągłą taką, że f(2x^2-1)=2xf(x) dla każdego x \in R.
Udowodnić, że f(x)=0 dla -1 \le x \le 1.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2011, o 22:00 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
5. Równanie Pella.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2011, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
6. Putnam 2000
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2011, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 287
Lokalizacja: Kraków
4. Lemat: jeśli liczby a_1, a_2, \ldots, a_n są dodatnie, to \frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq 1.
Wynika to natychmiast z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.

Rozwiązanie zadania podzielimy na 3 kroki.

1) \alpha = \frac{1}{n} dla pewnego n \geq 2 naturalnego.
Zauważmy, że \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx =  \int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x+1)} \right ) dx  =
\int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x)} \right ) dx \geq \int_{0}^{\frac{1}{n}} n dx = 1.

2)\alpha = \frac{m}{n}. Ten przypadek łatwo sprowadzamy do poprzedniego bo \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx i teraz podstawiamy y = \frac{x}{m} oraz g(x) = f(mx). Po prostych przekształceniach okazuje się, że jest to krok 1) dla funkcji g.

3)\alpha dowolne. Dobieramy ciąg liczb wymiernych zbieżny do \alpha z ciągłości funkcji f odpowiednie całki zbiegają do \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx (choćby dlatego, że funkcja f jest ograniczona na przedziale [0, 1]), ponieważ a ponieważ te całki są większe lub równe 1, to również \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \geq 1.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 10:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 751
Lokalizacja: Warszawa
4. (trochę inaczej zapisane)

Jak pokazał TomciO, chodzi wyłącznie o nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Dla funkcji ciągłej dodatniej g \colon [0,1] \to \mathbb{R} mamy z nierówności Jensena
\ln \left( \int_0^1 g \right) \geqslant \int_0^1 \ln (g),
czyli zachodzi nierówność między średnimi
\int_0^1 g \geqslant \exp \left( \int_0^1 \ln (g) \right).
Jeśli zastosujemy ją dla g(x) = \frac{f(x)}{f(x + \alpha)}, to na mocy okresowości \int_0^1 \ln (g) = 0 i mamy tezę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [studia] Politechnika Warszawska  Nostry  162
 [studia] Uniwersytet Łódzki  Nostry  0
 [studia] Uniwersytet Szczeciński  Nostry  0
 [studia] Politechnika Wrocławska  Nostry  18
 [studia] Uniwersytet Rzeszowski  Nostry  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl