szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 lis 2004, o 02:44 
Użytkownik

Posty: 152
Lokalizacja: zadupiów
Liczby zespolone


Definicja i postaci liczb zespolonych [chlip]

Liczba zespolona to uporządkowana para liczb (a,b). Zbiór liczb zespolonych \mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.
W \mathbb{C} określamy działania:
-dodawanie (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
-mnożenie (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Struktura (\mathbb{C},+,\cdot) jest ciałem.

Zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R} utożsamiamy z parami (a,0)\quad, a \in \mathbb{R}.

Postać kanoniczna

Liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci kanonicznej (algebraicznej)
z=a+ib
gdzie: a \in \mathbb{R} nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej i ozn.\text{Re }z=a  \left( \text{re }z=a \right),
b \in \mathbb{R} nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej i ozn. \text{Im }z=b  \left( \text{im}z=b \right),
natomiast i nazywamy jednostką urojoną, o tej własności,że i^2=-1,\quad ( i=(0,1))

Dla liczby zespolonej z=a+ib określamy moduł
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Liczbę sprzężoną do z=a+bi definiujemy jako
\overline{z}=a-bi

Postać trygonometryczna

Liczbę zespoloną z=a+bi możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej jako
z=|z| \left( \cos\varphi+i \sin\varphi \right)
gdzie: |z| moduł liczby zespolonej, |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
kąt skierowany \varphi jest to argument liczby zespolonej i ozn. \varphi=\arg z( dla liczby z=0 argument nie jest określony)
kąt \varphi wyliczamy za pomocą wzorów
\cos\varphi=\frac{a}{|z|}  \\
 \sin\varphi=\frac{b}{|z|}
\text{Arg}\ z=\varphi nazywamy argumentem głównym gdy \varphi\in\langle0,2\pi)

Postać wykładnicza

Liczbę zespoloną z=a+bi możemy przedstawić w postaci wykładniczej
z=|z|e^{i \varphi}
gdzie: |z| moduł liczby zespolonej
\varphi jest argumentem liczby zespolonej

Pierwiastek liczby zespolonej

Pierwiastkiem zespolonym stopnia n\in \mathbb{N} z liczby z nazywamy każdą liczbę w\in \mathbb{C} taką, że
w^{n}=z i ozn.\sqrt[n]{z}
\sqrt[n]{z}=w\quad \Leftrightarrow \quad w^{n}=z

Każda liczba zespolona z \neq 0 ma dokładnie n pierwiastków zespolonych stopnia n. Pierwiastki te wyrażają sie wzorem
w_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)
gdzie k=0,1,\cdots,n-1,\qquad  \varphi=\arg z

Działania i podstawowe własności [chlip]

Niech:

z_1=a+bi=|z_1| \left( \cos{\varphi_1}+i \sin{ \varphi_1} \right) =|z_1|e^{i \varphi_1}, \\
 z_2=c+di=|z_2| \left( \cos{\varphi_2}+i \sin{ \varphi_2} \right) =|z_2|e^{i \varphi_2}, \\
 z=|z| \left( \cos \varphi+i \sin \varphi \right)  ,\quad w\in \mathbb{C}

dodawanie

z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)

mnożenie
z_1\cdot z_2= \left( a+bi \right)  \left( c+di \right) =ac+iad+ibc+i^{2}bd= \left( ac-bd \right) +i \left( ad+bc \right)  \\ \\
 z_1\cdot z_2=|z_1||z_2| \left(   \cos  \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right) +i  \sin  \left(  \varphi_1 + \varphi_2 \right)  \right)  \\ \\
 z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|e^{i  \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) }


dzielenie z_2\neq 0

\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ \left( a+bi \right)  \left( c-di \right) }{ \left( c+di \right)  \left( c-di \right) }=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + i \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} \\ \\
 \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|} \left(   \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) +i \sin \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right)  \right)  \\ \\
 \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) }

Podstawowe własności:


(*) \ |z|^2=z \overline{z} \\\\
(*) \ z+\overline{z}=2 \text{Re } z \\\\
(*) \ z-\overline{z}=2i \text{Im }z \\\\
(*)\  z=\overline{z} \quad \Leftrightarrow \quad  z\in \mathbb{R} \\\\
(*)\   \overline{z_1+z_2} =\overline{z_1}+\overline{z_2} \\\\
(*) \ \overline{z_1\cdot z_2} =\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} \\\\
(*) \ |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| \\\\
(*)\  |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \\\\
(*)\  \left|{\frac{z_1}{z_2}}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad  z_2\neq 0 \\\\
(*)\  |z^n|=|z|^n \\\\
(*) \ \arg \left( z_1z_2 \right) =\arg z_1+\arg z_2 \\\\
(*) \ \arg \left( {\frac{z_1}{z_2}} \right) =\arg z_1-\arg z_2, z_2\neq 0 \\\\
(*)\  \arg(z^n)=n\  \arg z \\\\
(*)\ \text{wzór de Moivre'a }\\
 z^{n}=|z|^{n} \left( \cos \left( n \varphi \right) +i \sin \left( n \varphi \right)  \right)  \\\\
(*)\ z^{n}=w^{n}\  \Rightarrow \  z=w \sqrt[n]{1}

Wiele przykładów z zastosowaniem powyższej wiedzy i wzorów jest rozwiązane w dziale Liczby zespolone
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź liczby niewymierne, których suma jest wymierna  Anonymous  2
 Własności funckji f(x)=tg(A)  Anonymous  3
 Definicja i własności funkcji wykładniczej  Anonymous  1
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Wyznacz liczby dla których wyrażenie jest podzielne przez  Anonymous  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl