szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2011, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 1023
Obliczyć całkę \int_{2}^{4} x^{10} dx poprzez konstrukcję ciągu podziałów dziedziny oraz obliczenie granicy ciągu sum Riemanna.

Mam podaną zależność \int_{a}^{b} f(x)dx =  \lim_{d(P) \to 0}  \sum_{k=1}^{n} f(t_k) \Delta x_k gdzie d(P) jest najdłuższym podprzedziałem, a t_k leży gdzieś między \Delta x_k (o ile dobrze rozumiem ten wzór).


Jak mam wyznaczyć d(P)? Rozumiem, że odcinek [2,4] dzielimy na 2=2 \cdot 2^{ \frac{0}{n}}, 2 \cdot 2^{ \frac{1}{n}}, 2 \cdot 2^{ \frac{2}{n}},...,2 \cdot 2^{ \frac{n}{n}} =4 No ale wtedy każdy podprzedział ma tę samą długość \Delta x = 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} }  \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} }) zatem także d(P) = 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} }  \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} }) . Skoro d(P)  \rightarrow 0to n \rightarrow  \infty. I teraz to wszystko mam wpakować do wzoru na całkę? Ostatecznie otrzymałem do policzenia taką granicę:

\lim_{ n \to  \infty } 2^{11} (1-2^{ \frac{-1}{n} } )( \frac{1-(2^{ \frac{11}{n} })^{n+1}}{1-2^{ \frac{11}{n} }} )
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2011, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
MakCis napisał(a):
No ale wtedy każdy podprzedział ma tę samą długość \Delta x = 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} }  \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} })


Czyli wyrażenie 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} }  \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} }) jest niezależne od k?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2011, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 1023
Jest zależne od k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2011, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Dla jakiego k jest największe?

-- 22 kwi 2011, o 23:49 --

Kolejne pytania:

Czy dla tego konkretnego k (czyli k=n?) wyrażenie 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} } \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} }) dąży do zera przy n dążącym do nieskończoności?


Czy całka Riemanna \int_{2}^{4} x^{10} \mathrm{d}x istnieje? Wsk: funkcja podcałkowa jest ciągła.


Ile jest równa granica:
\lim_{n\to\infty}\frac{1-2^{ \frac{11}{n} }}{1-2^{ \frac{1}{n} }} ?

Wsk: \frac{1-2^{ \frac{11}{n} }}{1-2^{ \frac{1}{n} }}=1+2^{\frac{1}{n}}+2^{\frac{2}{n}}+\ldots+2^{\frac{10}{n}}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2011, o 00:51 
Użytkownik

Posty: 1023
Cytuj:
Dla jakiego k jest największe?

Myślałem, że każdy z przedziałów ma tę samą długość.



Cytuj:
Czy dla tego konkretnego k (czyli k=n?) wyrażenie 2 \cdot 2^{ \frac{k}{n} } \cdot (1-2^{ \frac{-1}{n} }) dąży do zera przy n dążącym do nieskończoności?


Tak.


Cytuj:
Czy całka Riemanna \int_{2}^{4} x^{10} \mathrm{d}x istnieje? Wsk: funkcja podcałkowa jest ciągła.

Skoro funkcja jest ciągła to istnieje.


Cytuj:
Ile jest równa granica:
\lim_{n\to\infty}\frac{1-2^{ \frac{11}{n} }}{1-2^{ \frac{1}{n} }} ?

Wsk: \frac{1-2^{ \frac{11}{n} }}{1-2^{ \frac{1}{n} }}=1+2^{\frac{1}{n}}+2^{\frac{2}{n}}+\ldots+2^{\frac{10}{n}}.

Z policzeniem granicy już jakoś sobie poradze. Byle do niej jakoś dojść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2011, o 11:14 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Ja nie wnikam dokładnie w Twoje obliczenia, ale wydaje mi się, że dobrze policzyłeś, że całka jest równa

\lim_{ n \to \infty } 2^{11} (1-2^{ \frac{-1}{n} } )( \frac{1-(2^{ \frac{11}{n} })^{n+1}}{1-2^{ \frac{11}{n} }} ).

Moje ostatnie pytanie miało na celu dać wskazówkę, jak tę granicę policzyć.

-- 23 kwi 2011, o 11:50 --

Chociaż, gdzieś musiałeś się pomylić, skoro wychodzi ujemny wynik. Ja sobie też policzyłem. Za każdym razem wziąłem wartość funkcji z lewego końca przedziału i mi wyszło tak:

\sum_{k=0}^{n-1}\left(2\cdot2^{\frac{k}{n}}\right)^{10}\left(2\cdot2^{\frac{k+1}{n}}-2\cdot2^{\frac{k}{n}}\right)=
2^{11}\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)\sum_{k=0}^{n-1}2^{\frac{11k}{n}}=
2^{11}\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)\frac{2^{11}-1}{2^{\frac{11}{n}}-1}=

=\frac{2^{11}\left(2^{11}-1\right)}{\sum_{i=0}^{10}2^{\frac{i}{n}}}\longrightarrow\frac{4^{11}-2^{11}}{11}.

W Twojej granicy wyjdzie przeciwny wynik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2011, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 1023
Mam jeszcze pytanie, jak wpaść na konstrukcję podziału przedziału? Gdyby nie ta wskazówka pewnie nigdy bym na to nie wpadł. Prędzej próbowałbym dzielić przedział na n części, z których każda miałaby długość 2/n...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2011, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Nie wiem, w jaki sposób ktoś wpadł na pomysł, że można tak podzielić i wyjdzie. Pewnie zauważył jakiś ciąg geometryczny i pomyślał "czemu by nie spróbować?"

Z podziałem odcinka na równe części też się da, ale to jest dużo bardziej złożone zadanie. Wymaga ono wzoru na \sum_{k=1}^{n}k^{10} albo jakiegoś podobnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2011, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 1023
A jak w takim razie policzyć \int_{1}^{10}e^{2x}dx?

Próbowałem robić podział o długości \frac{9}{n} dzieląc przedział całkowania odcinkami x_k =  \frac{9k+n}{n} w konsekwencji czego musiałbym policzyć \lim_{n \to  \infty }  \sum_{k=1}^{n}e^{2 \cdot  \frac{9k+n}{n} }  \frac{9}{n}.

Ma ktoś inny pomysł?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 szukam dowodow (suma calek itp)  prokicki  1
 Całkowalność w sensie Riemanna  metamatyk  2
 Zbiór punktów oraz pola ograniczone liniami - zadanie 2  papatki  1
 z definicji calki riemanna  krzys  8
 Całka Riemanna  Calasilyar  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl