szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Zamość
Dziś odbył się ten konkurs. Zamieszczam z niego trudniejsze (moim zdaniem) zadania i proszę o jakieś wskazówki:

1. Obliczyć:
tan^6(20^o)-33 tan^4(20^o)+27 tan^2(20^o)

2. Wyznaczyć takie trójki x, y, z \in N, że x^2+1 i y^2+1 są liczbami pierwszymi oraz (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1

Podpowiedzi mile widziane :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
1.
\sqrt{3} =tg60^o=tg(40^o+20^o)

i wzory teraz
tg( \alpha +  \beta) =  {\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}
tg 2x = \frac{2tgx}{1- tg^2x}
Góra
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 17:58 
Użytkownik
2. Mozna zastanowic sie nad tym gdyby z bylo nieparzyste. Wtedy prawa strona jest parzysta. Po lewej mamy iloczyn dwoch liczb pierwszych i trzeba zastanowic sie nad tym kiedy taki iloczyn jest parzysty :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 18:24 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Zamość
1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?

2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet z byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Góra
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 18:28 
Użytkownik
przemon napisał(a):
2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet z byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).


Dla zalozenia ze z jest nieparzyste otrzymujesz x^2+1 = 2 \  \vee \ y^2+1=2.
Mozliwosc gdy z jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 1110
Wykaż, że dla każdego (rzeczywistego) n>1 i a \ge 0 zachodzi
(1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}

Proszę o wskazówkę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
przemon napisał(a):
1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?

nie trzeba wyliczac tg20^o , tam nie powstanie równanie kwadratowe tylko równanie trzeciego stopnia
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Zamość
ostryo napisał(a):
przemon napisał(a):
2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet z byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).


Dla zalozenia ze z jest nieparzyste otrzymujesz x^2+1 = 2 \ \vee \ y^2+1=2.
Mozliwosc gdy z jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.


To, to wiem :D Ale jak załóżmy x^2+1 = 2 to musisz jeszcze wyznaczyć lub wskazać, że nie istnieją y i z, a nie wiem czy to jest takie łatwe, poza tym to tylko gdybanie - w treści nie ma nic o nieparzystości :P

darek20,
Racja, błąd wynika z tego, że bezmyslnie ppodstawiałem do wzorów które napisałeś, a nie zauważyłem, że jeden z nich jest błędnie zapisany, zaraz przeliczę jeszcze raz.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2913
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Mruczek napisał(a):
Wykaż, że dla każdego n>1 i a \ge 0 zachodzi
(1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}


Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 1110
Miało być dla n rzeczywistego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
Mruczek napisał(a):
Miało być dla n rzeczywistego.


Na pewno? chyba chodzi o a?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 1110
Chyba pisało, że dla każdego n>1 i a \ge 0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2011, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Piotrków Tryb
EASY MAN!! :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 kwi 2011, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 1110
przemon napisał(a):
2. Wyznaczyć takie trójki x, y, z \in N, że x^2+1 i y^2+1 są liczbami pierwszymi oraz (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1


Link
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 kwi 2011, o 10:36 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Zamość
chyba ktoś przesadził... (szczególnie, że konkurs odbywał się w ten sam dzień, co drugi dzień zawodów III stopnia OM :D)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pomorski Konkurs Matematyczny - zadanie 2  kotek007  1
 Konkurs Epigramat  Tristan  15
 Matematyczne pojedynki - nowy konkurs dla wszystkich  toms66  0
 Śląski konkurs matematyczny-SKM 2013  ben2109  16
 [gimnazjum] Konkurs, zadania 2. serii  Dargi  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl